Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Messages : 314

Courbure Formule

Bonjour,

Je considère [tex]\gamma : I\to \mathbb{R}^2[/tex] une courbe paramétrée de classe [tex]C^2[/tex]. Alors pour tout [tex]t\in I[/tex], [tex]k(t)=\frac{|det(\gamma^{'}(t),\gamma^{''}(t))|}{\|\gamma^{'}(t)\|^3}[/tex].

Pour la démonstration, on note [tex]\gamma_1=\gamma\circ s_{t_0}^{-1}[/tex] la paramétrisation par abscisse curviligne, avec [tex]t_0\in I[/tex], et on pose [tex]s=s_{t_0}(t)[/tex].
On démontre alors que [tex]\gamma_1^{'}(s)=\frac{\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s))}{\|\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s))\|}[/tex] et [tex]\gamma_1^{''}(s)=\frac{\gamma^{''}(s_{t_0}^{-1}(s))}{\|\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s))\|^2}+\lambda(s)\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s)))[/tex].

Je comprends les calculs, mais je ne comprends pas comment on en déduit que [tex]det(\gamma_1^{'}(t),\gamma_1^{''}(t))=\frac{det(\gamma^{'}(t),\gamma^{''}(t))}{\|\gamma^{'}(t)\|^3}[/tex].

J'ai écrit que [tex]\gamma_1^{'}(t)=(\frac{\gamma^{'}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|},0)[/tex] et [tex]\gamma_1^{''}(t)=(\lambda(s),\frac{\gamma^{''}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|})[/tex] pour avoir [tex]det(\gamma_1^{'}(t),\gamma_1^{''}(t))=\frac{\gamma^{'}(t)\gamma^{''}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|^3}[/tex]...

Bon, là je ne vois pas.

Merci pour votre aide !

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : Courbure Formule

Bonsoir,

Il y a un truc qui me parait louche dans ce que tu écris :

Je considère [tex]\gamma : I\to \mathbb{R}^2[/tex] une courbe paramétrée de classe [tex]C^2[/tex].
[...]
J'ai écrit que [tex]\gamma_1^{'}(t)=(\frac{\gamma^{'}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|},0)[/tex]

Pour moi, $\gamma'(t)$ est un vecteur du plan... et je ne sais pas ce que vient faire $(\frac{\gamma^{'}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|},0)$.

Pour revenir à ta question, j'ai simplement l'impression que tu utilises que $\det(\overrightarrow u,\overrightarrow u+\overrightarrow v)=\det(\overrightarrow u,\overrightarrow v)$, et que $\det(a\overrightarrow u,\overrightarrow v) = a\det(\overrightarrow u,\overrightarrow v)$.

Roro.

Dernière modification par Roro (29-06-2022 21:09:11)