Aire d'un triangle et les 4 opérations !

Bernard-maths · 27-06-2022 08:47:15

Bonjour à tous !

Tout le monde connaît LA formule pour calculer l'aire d'un triangle !

Voici une figure :

Avec les données de cette figure, de tête vous pouvez calculer l'aire du triangle ABC, avec les 4 opérations !

Auriez-vous une formule ?

Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (27-06-2022 08:49:14)

jpp · 27-06-2022 11:40:28

Salut ,

43.5 en utilisant la formule de Pick .

Nombre de points à coordonnées entières à l'intérieur plus la moitié des points à coordonnées entières sur le contour moins un égale 43 + 3/2 - 1 = 43.5

Bernard-maths · 27-06-2022 13:08:07

Bonjour jpp !

Pick épique et collègue rame ... ? Certes voilà une bonne réponse, mais irais-tu aussi vite avec la figure suivante ?

A bientôt, B-m

jpp · 27-06-2022 14:14:13

re ,

En retirant les aires de 3 triangles rectangles à celle d'un rectangle . Non ?

Bernard-maths · 27-06-2022 15:21:16

Salut !

Pourquoi pas ... une formule (calculable de tête) ?

Roro · 27-06-2022 21:20:32

Bonsoir,

je pense que le message #4 de jpp donne la réponse directement (et de tête) : dans le dernier exemple on trouve
$$\text{Aire} = (120 000 \times 100000) \, - \, (60000\times 80000)/2 \, - \, (120000\times 20000)/2 \, - \, (60000\times 100000)/2.$$
Si on met $10^8$ en facteur :
$$\text{Aire} = \big[(12 \times 10) \, - \, (6\times 8)/2 \, - \, (12\times 2)/2 \, - \, (6\times 10)/2 \big] \times 10^8.$$
$$\text{Aire} = 54 \times 10^8.$$

Roro.

Dernière modification par Roro (27-06-2022 21:22:51)

Bernard-maths · 28-06-2022 07:22:20

Bonjour à tous !

Roro, cela semble bien ! Mais encore une petite variante, histoire de ...

Je cherche toujours une formule, mais ce n'est pas simple. Pourtant y'en a ! https://www.bibmath.net/formulaire/geop … lan19x.png

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-06-2022 08:58:42)

Bernard-maths · 28-06-2022 15:53:33

Bonjour à tous !

Oui pour un triangle on peut enlever des triangles autour ! Mais la manoeuvre est à ajuster au coup par coup ...

Alors il y a la fameuse formule du déterminant, par exemple : Aire(ABC) = 0.5 * abs(Dét(Vect(AB), Vect(BC)) !
Qui se "calcule de tête" dans les cas "simples" ...

Maintenant, si on veut aller plus loin, quelle formule a-t-on pour un polygone ?

Il y en a une valable pour les polygones non croisés, que j'ai connue en 1975, avec le manuel d'application de la toute nouvelle calculatrice programmable, la fameuse HP 25 de Hewlet Packard !

Formule basée sur celle des déterminants ...

Voici un hexagone rouge convexe, et à partir du point O sont tracés 6 triangles passant chacun par un côté de l'hexagone.
L'addition des aires algébriques, données par les déterminants, va donner :
2 Aire(ABCDEF) = abs(somme des 6 déterminants par permutation circulaire) !

la méthode est valable quel que soit le point O. MAIS choisir O comme origine du repère simplifie les coordonnées des vecteurs ...

Ainsi, pour un polygone A₀A₁ ... A_n-1, on aura la formule :

2 Aire(A₀ ... A_n-1) = abs(x₀ y₁ - x₁ y₀ + x₁ y₂ - x₂ y₁ ... + x_n-1 y₀ - x₀ y_n-1)

Qui peut s'écrire aussi (plus mnémotechnique) :

2 Aire(A₀ ... A_n-1) = abs(x₀ y₁ + x₁ y₂ ... + x_n-1 y₀ - x₁ y₀ - x₂ y₁ ... - x₀ y_n-1)

La formule est encore vraie (me semble t-il) si le polygone est plus ou moins bizarre, mais surtout pas croisé !

Voilà ce que je connais pour le moment. Pour la suite je vous parlerai des polygones croisés ... ( :-)

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-06-2022 16:58:46)

yoshi · 28-06-2022 18:00:52

Bonjour,

J'ai Pythonné un script avec max() et abs() et je je me suis vite rendu compte que, dans ce cas particulier, l'aire de ABC n'est pas
A_rectangle-(A_tr1+A_tr2+A_tr3) parce que $\hat B$ est obtus et qu'il faut encore retirer un petit rectangle dont un sommet est B (ici ABC est isocèle, donc le rectangle est un carré)...
Ma problématique actuelle est la suivante : via des comparaisons d'abscisses et ordonnées, comment savoir si un angle est obtus...
Sinon ça fonctionne !

@+

[EDIT]Arf ! j'ai pris trop de temps à écrire et j'ai posté une réponse à l'aire du triangle après le dernier post de Bernard qui était déjà au taquet.
Pas de bol...

Dernière modification par yoshi (28-06-2022 18:04:55)

Bernard-maths · 28-06-2022 20:15:54

Bonsoir Yoshi !

Arf, arf, arf ? Je ne peux pas laisser les gens chercher des trucs à bidouiller ... donc j'ai avancé !

Voilà donc une formule à mettre dans le formulaire ?

Par contre, pour la suite, je navigue au coup par coup, mais j'ai, semble-t-il, trouvé un procédé à suivre !?

Pour la "petite histoire", la formule générale précédente est utilisée par GeoGebra pour calculer l'aire des polygones !
Et elle est mise en défaut pour un polygone croisé ...

S'il y a une formule, elle ne doit pas être "piquée des vers" !

A plus donc, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-06-2022 20:17:18)

Bernard-maths · 28-06-2022 21:28:14

Bonsoir à tous !

Je poursuis avec 2 exemples traités façon-façon !

Quadrilatères et Hexagones, non croisés à gauche, puis croisés à droite :

A gauche, dans la partie Algèbre, on voit q1 et Aire qui ont la même valeur 42 ; q1 est l'aire calculée par GeoGebra, Aire par la formule donnée précédemment. Aire2 = ? est une formule adaptée à la figure de droite, qui ne donne rien ici !

A droite, le quadrilatère est croisé, le point E est le point d'intersection des 2 côtés croisés, placé manuellement !

q1 et Aire donnent encore la même valeur 2, qui est manifestement fausse : Par contre Aire2 = 10 donne la bonne réponse ...

On retrouve les mêmes remarques : ici on a poly1 et Aire qui vont ensemble et donnent 55.5, Aire2 = ? est pour la figure croisée de droite.

A droite l'hexagone se croise 3 fois en G, H et I, placés manuellement ! On peut vérifier que Aire2 = 21.5 est le bon résultat à droite, alors que poly1 = Aire = 0 est vraiment faux !

Il y a donc moyen de trouver une formule adaptée à chaque cas, en plaçant manuellement les points de croisements ...

Demain, je vous détaillerai la méthode que j'ai trouvée, vous avez quelques heures pour chercher !

Bonne nuit ! Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (28-06-2022 21:57:29)

Bernard-maths · 29-06-2022 10:41:17

Bonjour à tous !

Un p'tit coup d'pouce, pour vous inciter à chercher ?

Alors pour le quadrilatère, on la formule : Aire =

0.5 abs((x(A) y(B) - y(A) x(B)) + (x(B) y(C) - x(C) y(B)) + (x(C) y(D) - x(D) y(C)) + (x(D) y(A) - x(A) y(D))).

Mais si on prend le quadrilatère croisé, on a un point de plus, E ! On va considérer le polygone ABECDEA, donc un "hexagone".

Il faut adapter/rallonger la formule pour l'hexagone ! MAIS le franchissement de E implique une "petite modif" de la formule à ce moment ! J'ai mis des parenthèses autour des 4 termes ...

Saurez-vous la trouver ? Je vous laisse du temps, j'ai la famille qui débarque !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (29-06-2022 11:06:03)

Bernard-maths · 30-06-2022 14:19:04

Bonjour à tous !

La famille traine, alors je reprends la plume !

Voici la formule préparée pour le quadrilatère-hexagone : Aire2 =

0.5abs(+(x(A) y(B) - y(A) x(B)) + (x(B) y(E) - x(E) y(B)) + (x(E) y(C) - x(C) y(E)) + (x(C) y(D) - x(D) y(C)) + (x(D) y(E) - x(E) y(D)) + (x(E) y(A) - x(A) y(E)))

On y a écrit la somme de 6 termes (entre parenthèses), avec des signes + en rouge.

Alors, réfléchissons un peu ... Si on regarde le quadrilatère non croisé, ou l'hexagone, pour établir la formule Aire, on parcourt les sommets en tournant dans le sens des aiguilles (d'un montre analogique). Si on regarde le quadrilatère croisé, on voit qu'on parcourt A, B et E selon les aiguilles, mais une fois franchit E, on parcourt E, C et D en sens contraire des aiguilles ...

On peut dire qu'il y a 2 triangles ABE et ECD, ABE dans le sens des aiguilles, et ECD en sens contraire des aiguilles ! Vu ?

Au passage par E le sens de parcours changeant, il en est de même des signes des termes associés ...

Il faut donc changer des signes + en signes - !!! D'où ma proposition de formule Aire2 =

0.5abs(+(x(A) y(B) - y(A) x(B)) + (x(B) y(E) - x(E) y(B)) - (x(E) y(C) - x(C) y(E)) - (x(C) y(D) - x(D) y(C)) - (x(D) y(E) - x(E) y(D)) + (x(E) y(A) - x(A) y(E)))

Chaque fois que le terme commence par x(E), on change les signes : le 3ème de + à -, après on continue avec -, au 4ème et au 5ème, et au 6ème on change à nouveau, - en + ... gymnastique de l'esprit ...

Vous pouvez vérifier ... Essayez de trouver la formule Aire2 pour l'hexagone-nonagone (12 termes).

Réponse demain, Bernard-maths.

PS à Yoshi, Wiwaxia, et autre programmeur ... ou non.

1°) Comment savoir si 2 côtés d'un polygone sont sécants (en un point ...) ?

2°) Peut-on envisager un programme restreint, ou général ?

Dernière modification par Bernard-maths (30-06-2022 16:36:55)

Wiwaxia · 01-07-2022 09:05:51

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

... / ...PS à Yoshi, Wiwaxia, et autre programmeur ... ou non.
1°) Comment savoir si 2 côtés d'un polygone sont sécants (en un point ...) ?
2°) Peut-on envisager un programme restreint, ou général ?

a) On peut envisager le recours à l'artillerie lourde, par la détermination du point d'intersection (M) des deux segments (AB, CD) supposés non parallèles: il exlste alors deux réels (λ, µ) compris entre 0 et 1, tels que:

AM = λ.AB ; CM = µ.CD .

b) La comparaison des surfaces algébriques des triangles (ABC), (ACD) à celle du quadrilatère (ABCD) doit conduire à une réponse; éventuellement celle des angles orientés (AB, AC) , (AC, AD) et (AB, AD) - il faut alors travailler sur les valeurs absolues.

Je n'ai pas le temps de développer.

PS: Je vous file rapidos le tuyau: S(ACD) et S(BCD) sont de signes opposés, de même que S(CAB) et S(DAB) .

Dernière modification par Wiwaxia (01-07-2022 21:57:53)

Bernard-maths · 01-07-2022 15:26:10

Bonjour Wiwaxia !

Merci pour l'artillerie lourde ! J'ai effectivement pensé, et mis en pratique sur GeoGebra la détection de 2 segments croisés, ou non.

eq1 et eq2 sont celles des droites (AB) et (CD). f(x,y) et g(x,y) sont les fonctions associées. fC et fD sont les valeurs de f en C et en D : si fC * fD < 0 alors C et D sont de part etd'autre de (AB). Pareil pour gA et gB, si gA * gB <0 , alors A et B de part et d'autre de (CD).

1ère figure : ainsi les segments [AB] et [CD] sont sécants en E !

2ème figure fC et fD de même signe, gA et gB aussi, segments non sécants ...

Remarque : il suffit qu'un seul des 2 produits soit positif pour avoir les segments non sécants !

Mais il faut généraliser à un polygone de n sommets ... Alors je pense à un programme de ce genre :

initialisations diverses, dont :
q <-- 1
Pour i = 1 à n
Pour p = i+1 à n ???
Si [Ai-1 Ai] et [Ap-1 Ap] sont sécants
Alors Eq = point sécant
q <-- q+1 et enregistrer les 2 segments
Fin Si
Fin Pour p
Fin Pour i

Ensuite, il faut mettre les point Eq aux bons endroits dans la liste des sommets !!!

Et là, aucune idée pour le moment ... enfin peu ...

Bonne cogitation à tes instants libres !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-07-2022 07:17:02)

Wiwaxia · 01-07-2022 21:50:04

Bonsoir Bernard-maths,

Bernard-maths a écrit :

... / ... Ensuite, il faut mettre les point Eq aux bons endroits dans la liste des sommets !!!
Et là, aucune idée pour le moment ... enfin peu ...

Là, cela devient présomptueux, car une arête peut en recouper (N - 3) autres ... Ce n'est rien d'en faire l'inventaire, mais les classer !

LGbuNhl1fEX_Polygone-%C3%A0-N-3-auto-intersections.bmp

Dernière modification par Wiwaxia (01-07-2022 21:58:55)

Bernard-maths · 02-07-2022 07:19:48

Bonjour Wiwaxia !

"Là, cela devient présomptueux, car une arête peut en recouper (N - 3) autres ... Ce n'est rien d'en faire l'inventaire, mais les classer !"

Tu me traites de jeune somptueux ! Il y avait un sketch comme ça ...

Je te donne quelques idées pour la suite ?

Ensuite … trier les points trouvés pour les insérer dans la liste des sommets … comment ?

On peut penser : pour chaque segment [Ai-1 Ai], du 1er au dernier, si il y a des points trouvés sur ce segment, chercher les coefficients kr tels que Vect(Ai-1Eqs) = krs Vect(Ai-1 Ai), et les insérer dans l’ordre des krs entre Ai-1 et Ai !
Si on a trouvé q points d’intersection, chacun interviendra 2 fois sur 2 segments (et les cas point triple ou multiple ?), la liste des sommets se rallongera de 2 q points.

Ensuite … pour la formule : on la commence avec un signe + ; à chaque terme qui débute par un point d’intersection, on change le signe devant le terme. On garde ce changement de signe jusqu’au prochain point d’intersection !

Voilà les idées principales à développer pour aboutir à un programme !

Ensuite penser aux points multiples !??? Là, le programme deviendra somptueux !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-07-2022 07:30:19)

Bernard-maths · 02-07-2022 07:38:10

Bonjour à tous !

Réponse à la question de #12, formule pour l'hexagone-nonagone :

Aire2 = 0.5abs(+ (x(A) y(B) - y(A) x(B)) + (x(B) y(G) - x(G) y(B)) - (x(G) y(C) - x(C) y(G)) - (x(C) y(H) - x(H) y(C)) + (x(H) y(I) - x(I) y(H)) - (x(I) y(D) - x(D) y(I)) - (x(D) y(E) - x(E) y(D)) - (x(E) y(I) - x(I) y(E)) + (x(I) y(F) - x(F) y(I)) + (x(F) y(H) - x(H) y(F)) - (x(H) y(G) - x(G) y(H)) + (x(G) y(A) - x(A) y(G)))

G est sur [BC], donc on coupe en 2 :[BG] et [GC], mais on change le signe du 3ème terme commençant par x(G), donc signe - !

Ensuite, [CD] est coupé en 3 par H et I ... donc on continue 4ème terme commençant par x(C), avec le signe - qui se prolonge ; Puis 5ème terme commençant par x(H), donc changement de signe : + devant ! Puis 6ème terme commençant par x(I), donc changement de signe : -, 7ème terme par x(D), on garde signe -, pareil en 8ème terme par x(E) ...

Puis [EF] est coupé par I, donc 9ème terme commençant par x(I) change de signe + ... 10ème terme signe +,

Puis [FE] est coupé en 3 par H et G ! Je vous laisse suivre ... et ça donne le bon résultat !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-07-2022 08:32:12)

Bernard-maths · 03-07-2022 08:59:34

Bonjour à tous !

A la suite de mes cogitations, j'ai trouvé sur le net, en tapant "aire d'un polygone croisé", ce site :

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ … t.htm#poly

Il reste à adapter au cas du polygone croisé !?

Proposition ci-dessous :

Ici le polygone croisé ABCDEF est redessiné par symétrie verticale, ce qui permet de démarrer la formule en parcourant les sommets (au début) dans l'ordre trigo direct, ca qui permet de s'affranchir de abs dans la formule.

On présente les points dans un tableau vertical, avec leurs coordonnées. J'ai rajouté en coeff, le coefficient associé à chaque terme. Ce coeff se calcule de point en point, en tenant compte du "petit coeff de gauche" qui vaut -1 pour les points d'intersections des côtés ...

La méthode des lacets est expliquée par G. villemin ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (03-07-2022 11:24:12)

Bernard-maths · 04-07-2022 13:59:11

Bonjour à tous !

La présentation des changements de signes est alléchante, mais il (me) semble que le point de croisement par lui seul ne peut entrainer un changement de signe ! Il (me) semble que l'orientation de la suite du parcours entre aussi en jeu ... et/ou plutôt l'ordre de multiplicité du point de croisement ... La suite, après Wiwaxia !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (04-07-2022 17:27:35)

Wiwaxia · 04-07-2022 14:42:58

Bonjour,

Le calcul de l'aire algébrique d'un polygone ne pose aucune difficulté, parce qu'elle résulte de la somme de déterminants. Les ennuis surviennent avec celui de l'aire totale des surfaces délimitées par une ligne brisée fermée, en présence de points d'auto-intersection.
Cela amène d'ailleurs d'autres questions: comment distinguer l'intérieur de l'extérieur d'un contour fermé ? Quels coefficients attribuer aux aires des portions des surfaces délimitées par une boucle ? -1, 0, +1 ?
Je ne vois pas de solution générale, hors de calculs manuels dans des cas particuliers relativement simples.

Pour en revenir au sujet initial, la recherche des points d'auto-intersection peut être établie à partir de la comparaison des signes de déterminants: (AB) et (CD) présentent un point commun s'ils vérifient:

Det(AC, AD)*Det(BC, BD) < 0 ;
Det(CA, CB)*Det(DA, DB) < 0 .

Voici ce que donne la stricte application de ce critère dans le cas d'un polygone à 23 sommets, et 3 boucles superposées. Chaque arête peut recevoir une coloration caractérisant le nombre de points d'intersection (k = 1, 2, 3 ... :vert, jaune, rouge ...):

LGemVtdIzrX_2-figures-R%C3%A9sultats.png

Le cas des points multiples passe par la localisation des intersections, et le calcul des distances qui les séparent. Leur probabilité d'occurrence n'est pas nulle si l'on travaille en coordonnées entières, par exemple (comme c'est le cas du présent programme) en nombre de pixels image.

Bernard-maths · 04-07-2022 17:26:20

Bonsoir Wiwaxia, et autre curieux !

Oui, ici tes points sont encore de croisements simples, leur connaissance permettra de préciser les signes des différents termes de la formule ! Si on pousse plus loin ...

On en arrive au cas de multiplicité d'un point de croisement ! Ce qui semble difficile à mettre en évidence par des calculs ... mais on y arrivera ! Peut-être ...

Donc je vais continuer avec quelques exemples, et voir ce qu'on peut en tirer ...

Exemple 1 : Attention, danger !

La 2ème image est "la finale" ; la 1ère montre ce qu'elle était lorsque A et F étaient décalés un peu à gauche.

On voit que [AB] recoupe [DC] et [EF] en G et H. [EF] recoupe [AB] et [DC] en H et I. Enfin [DC] recoupe [AB] et [EF] en G et I. Les points G, H et I sont des points de croisements simples !

Sur la 2ème figure les points ABCDEF sont les sommets d'un hexagone régulier croisé ! G, H et I sont confondus avec le centre O du cercle.

Les points G, H et I deviennent des points de croisements doubles : [AB] recoupe [DC] et [EF] en un point double G = H = O... De même pour [DC] et [EF].

Je m'arrête pour ce soir. Demain je reprendrai plus en détail les calculs d'aires, avec la formule "classique" pas toujours vraie, et la formule "arrangée" avec des signes adaptables !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-07-2022 08:49:08)

Bernard-maths · 05-07-2022 08:51:17

Bonjour à tous !

Je vais tout de suite présenter un Exemple 2 : La figure de Wiwaxia, donnée en #21.

Sur la 1ère figure, on reconnaît la forme du 23-gones, qui se parcourt dans le sens trigo direct, depuis le point P0 par ex, pour reprendre la numérotation de ses points. Les points de croisements sont marqués depuis P0, on en troue 9, simples. J'ai repris les couleurs des segments : rouge = 3 points de croisement, jaune = 2 points et vert = 1 point. Noir = 0 point.

Ce 23-gone est poly1 dont l'aire calculée par GeoGebra est 180.35 ... ce qui est bizarre !

D'un autre côté Aire = pol2+poly3+poly4+q1+t1+t2+t3 = 79.71 est l'aire des parties grisées, bien différente.

On est ici confronté à la notion de parti intérieure au 23-gone = parties grisées ; et on extérieur = parties non grisées ! Que ceux qui savent faire la différence entre intérieur et extérieur d'une courbe fermée nous donnent un "moyen simple", pour voir si ça correpond à ce que je pense ... MERCI !

La 2ème figure fait voir qu'en déplaçant le point P14 vers le haut, on peut faire coïncider les 3 points D, E et I en un seul, qui devient alors un point de croisement double.

On peut se poser la question : que sont les parties colorées par GeoGebra sur un figure plane fermée ?

Voir : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15168

En utilisant "le truc" de la droite sécante, on peut partir de l'extérieur, et à chaque intersection de la droite avec un côté / la courbe, on change : intérieur, puis extérieur ...

Si on passe par un point de croisement simple de 2 côtés, on franchit 2 côtés à la fois, donc on ne change pas de type "dedans / dehors" !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-07-2022 16:57:40)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 27-06-2022 08:47:15

Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#2 27-06-2022 11:40:28

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#3 27-06-2022 13:08:07

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#4 27-06-2022 14:14:13

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#5 27-06-2022 15:21:16

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#6 27-06-2022 21:20:32

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#7 28-06-2022 07:22:20

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#8 28-06-2022 15:53:33

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#9 28-06-2022 18:00:52

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#10 28-06-2022 20:15:54

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#11 28-06-2022 21:28:14

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#12 29-06-2022 10:41:17

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#13 30-06-2022 14:19:04

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#14 01-07-2022 09:05:51

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#15 01-07-2022 15:26:10

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#16 01-07-2022 21:50:04

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#17 02-07-2022 07:19:48

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#18 02-07-2022 07:38:10

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#19 03-07-2022 08:59:34

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#20 04-07-2022 13:59:11

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#21 04-07-2022 14:42:58

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#22 04-07-2022 17:26:20

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

#23 05-07-2022 08:51:17

Re : Aire d'un triangle et les 4 opérations !

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