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Waad26

Invité

Arithmétique :n ne divise pas 2^n - 1

Bonjour,
Comment montrer que :
n>1 ne divise jamais 2^n - 1 ?
(Si plusieurs méthodes existent pourriez vous détailler ?)
Merci.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Arithmétique :n ne divise pas 2^n - 1

Bonsoir,

  Voici au moins une méthode qui fonctionne. On fait un raisonnement par l'absurde et on suppose que
$n$ divise $2^n-1$. Soit $p$ le plus petit facteur premier de $n$. Alors $p|2^{n}-1$
et donc, dans $G=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$, $\bar 2^n=1$. Ainsi, l'ordre de $\bar  2$ dans $G$
divise $n$. On sait aussi que l'ordre de $\bar 2$ divise l'ordre du groupe, qui vaut ici $p-1$.
Ainsi, l'ordre de $\bar 2$ divise $p-1$. Mais comme $p$ est le plus petit facteur premier de $n$,
ces deux contraintes entrainent que l'ordre de $\bar 2$ vaut $1$, ce qui n'est pas le cas car $\bar 2\neq\bar 1$.

F.