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Vincent62

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Majoration d'une expression

Bonjour,
Dans le but d'une application du théorème de convergence dominée, je suis amené à trouver un majorant, indépendant de [tex]n[/tex], de l'expression suivante :

[tex]f_n(a)=\big(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\big)^{n-1}e^{-a\sqrt{n}}[/tex], avec [tex]a\in [0,1][/tex] et [tex]n\ge 1[/tex].

Je parviens à majorer [tex]f_n[/tex], mais jamais il y a toujours du [tex]n[/tex] qui traîne.

Par ailleurs, j'ai montré que [tex]\lim_{n\to +\infty} f_n(a)=e^{-\frac{a^2}{2}}[/tex].

J'ai également pensé à utiliser le théorème de convergence monotone, et à considérer le quotient [tex]\frac{f_{n+1}(a)}{f_n(a)}[/tex] pour montrer que la suite [tex]f_n[/tex] est croissante, sans succès.

Pouvez-vous me donner un indice ?

Merci !

Roro

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Re : Majoration d'une expression

Bonjour,

Si tu sais que la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ vaut $\ell>0$ alors tu peux affirmer que pour $n$ assez grand (disons $n>n_0$) tu auras une majoration par $2\ell$.

Roro.

Dernière modification par Roro (15-06-2022 11:07:01)

Fred

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Re : Majoration d'une expression

Salut,

  Sauf si je n'ai pas compris quelque chose, j'ai l'impression que la majoration de Roro ne donne pas une majoration uniforme en $a$ (il faut que le $n_0$ soit indépendant de $a$).
Voici une possibilité - mais ce n'est sans doute pas celle à laquelle l'auteur de l'exercice pensait?

On sait qu'il existe $x_0>0$ tel que, pour $x\in [0,x_0]$, on a

$$\ln(1+x)\leq x-\frac{x^2}4$$

-- ceci peut se voir en utilisant le DL de $\ln(1+x)$ en $0$ à l'ordre 2. --

Soit $n_0$ tel que $1/\sqrt{n_0}\leq x_0$. On a donc, pour $n\geq n_0$, en appliquant l'inégalité précédente à  $x=a/\sqrt n$,

$$\ln(1+a/\sqrt n)\leq \frac{a}{\sqrt n}-\frac{a^2}{4n}$$

En multipliant par $n-1\leq n$,

$$(n-1)\ln(1+a/\sqrt n)\leq  a\sqrt n-\frac{a^2}4$$

Prenant l'exponentielle, et multipliant finalement par $e^{-a\sqrt n}$, on trouve finalement :

$$0\leq f_n(a)\leq \exp(-a^2/4)$$

qui doit répondre à ton problème.

F.

Roro

Membre expert

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Re : Majoration d'une expression

Bonsoir,

Ce que je proposais était effectivement naïf mais il me semble que la question n'était pas claire sur la dépendance en a.

Ceci étant dit, encore plus naïf : si $a\in [0,1]$ n'est-il pas suffisant de dire que pour tout $n$ et pour tout $a$ (positif) on a $f_n(a)\leq 1$ ??? Si on veut appliquer le théorème de convergence dominée avec $a\in [0,+\infty[$ la réponse de Fred devrait convenir, mais sur $[0,1]$ ???

Cette inégalité $f_n(a)\leq 1$ se voit par exemple en dérivant $f_n$. J'ai dû louper quelque chose !

Roro.

Dernière modification par Roro (15-06-2022 17:12:16)

Fred

Administrateur

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Re : Majoration d'une expression

C'est encore plus simple en effet!