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Redouane

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Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Bonjour

   J'ai du mal à savoir quel règle ou critère utiliser pour déterminer la convergence la série suivante:

\[\sum_{k=0}^n (1/2)^\sqrt{n}\]

J'ai essayé la formule des série géométrique en ayant un résultats pas juste, et essayé des majoration sans grand succès. J'ai lu la correction sans comprendre la démarche (lien çi-en dessous)

https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Je vous prie donc de m'aider et m'expliquer la démarche de la correction.

Merci d'avance

Dernière modification par Redouane (06-06-2022 15:27:41)

Zebulor

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Bonjour,
il y a une erreur d'écriture dans ta somme..
La comparaison avec une série de Riemann convergente (typiquement la série servant de comparaison est $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n^2}= \frac {\pi^2}{6}$) est utilisée pour les séries dont le terme général est de même signe (positif ici).
C'est peut être la notation de Landau qui te pose des soucis

Dernière modification par Zebulor (06-06-2022 17:03:47)

Fred

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Bonjour,

  Pour compléter la réponse de Zebulor, pour déterminer si une série à termes positifs converge, ce que l'on fait en général, c'est essayer de savoir comment se comporte son terme général, et notamment s'il tend plus ou moins vite vers $0$ que $1/n^\alpha$, puis qu'on connait la nature de la série $\sum_n \frac 1/n^\alpha$ suivant $\alpha$. C'est ce qui est fait ici dans la correction de l'exercice.
La difficulté, c'est que ce n'est pas si facile de comprendre comment $(1/2)^{\sqrt n}$ se comporte. Pour le savoir, il faut passer par la forme exponentielle, et écrit aussi $n^\alpha$ sous forme exponentielle.

F.

Sablon Aurélien

Invité

Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Tu dois faire une majoration des termes carrés. Tu majore ta somme au rang n par la somme jusqu'au premier entier carré supérieur à n ,[tex](\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor +1)^2 [/tex], puis dans cette somme tu peux regrouper par termes carrés [tex] \sum_{k=1}^{(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+1)^2)} \, (\dfrac{1}{2})^{\sqrt{k}}\,= \, \sum_{k=1}^{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor} \sum_{i=k^2}^{k^2-1} (\dfrac{1}{2})^{\sqrt{i}}\, \leqslant\,\sum_{k=1}^{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor} 2*k*((\dfrac{1}{2})^{k}) [/tex] et c'est un terme de série absolument convergent, donc par croissance et majoration ta série converge.

Redouane

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Bonjour,
il y a une erreur d'écriture dans ta somme..
La comparaison avec une série de Riemann convergente (typiquement la série servant de comparaison est $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n^2}= \frac {\pi^2}{6}$) est utilisée pour les séries dont le terme général est de même signe (positif ici).
C'est peut être la notation de Landau qui te pose des soucis

Bonjour

       La notation de Landau me pose problème, je ne vois pas vraiment qu'est ce qui nous permet de l'utiliser ni pourquoi et comment on étudie, je ne reconnait pas ce qui est utilisé.

Les calcul je les comprends, je sais pourquoi tel chose tend vers tel valeur en l'infinie, le problème vient vraiment des justification derrière tout ça.
[\{n^2}*un\]

Dernière modification par Redouane (07-06-2022 09:25:48)

Zebulor

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Re,
j'essaie de cibler au mieux ce que tu essaies de comprendre.
pour reprendre ce qu'écrit Fred, il s'agit de voir quelle est la série qui converge le plus rapidement vers 0 :
Est ce la série de terme général positif $u_n$=$(\frac {1}{2})^{\sqrt{n}}$=$exp(-ln(2)*\sqrt{n})$ converge plus rapidement vers $0$ que la série de terme général positif $w_n$=$exp(-2ln(n))=\dfrac {1}{n^2}$ ?

Plus précisement existe t il un nombre $n_0$ de $\mathbb N$ tel que pour ton entier plus grand que $n_0$, $-ln(2)\sqrt{n} \lt -2ln(n) \lt 0$.

Il reste à voir quelle est le terme qui tend le plus vite vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ (du moins croissant vers le plus croissant) :
$\sqrt{n}$, $ln(n)$ et $n^2$.
En d'autres termes, c'est une question de vitesse de divergence de ces 3 termes vers $+\infty$

Dernière modification par Zebulor (07-06-2022 14:39:49)

Redouane

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Re,

    Le but c'est d'étudier la convergence de la série en l'infinie. La méthode consiste à étudier la limite de n^2*Un en l'infinie, par cela on utilise l'exponentiel pour avoir une écriture qui nous permet d'étudier la limite aisément. Ensuite l'idée c'est de jouer avec le petit o(u), on sait que o(1/n^2) = 1/n^2*epsilon(1/n^2) ce qui nous permet de déduire que Un = o(1/n^2) (en réalité il faut commencer par la définition du epsilon(1/n^2)). On déduit très rapidement qu'elle est Riemann convergente.

     La dernière interrogation qu'il reste c'est : Pourquoi choisie t'on de passer par l'étude de n^2*Un, et pourquoi pas n^3*Un, ou n^4*Un, etc. Mise à part cela, j'ai compris la méthode.

Excusez moi pour les formule mathématique je ne maitrise pas le Latex.

Merci

Zebulor

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Re,
en fait on pourrait comparer avec $n^a*u_n$ quel que soit $\alpha \gt 1$ (série de Riemann convergente). Donc $\alpha=2,3,4..$ conviennent et on prend $\alpha=2$ par convention.
Mais suivant la question : $\alpha \gt 1$ peut suffire...
J'ai essayé d'être le plus clair possible mais d'autres que moi sont susceptibles de d'expliquer tout çà plus en détail.

Quant au latex j'ai eu un peu de mal aussi au tout début. Tu peux voir cette page :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943

On s'y fait vite.

Dernière modification par Zebulor (09-06-2022 07:58:58)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Bonsoir,

Excusez moi pour les formule mathématique je ne maitrise pas le Latex.

Oh, on a y a pensé ! ^_-  Et ça ne demande qu'un peu de bonne volonté pour apprendre (1/4 h pour les bases) ici :
Appendre Code LaTeX

@+

Zebulor

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

De retour,

Ensuite l'idée c'est de jouer avec le petit o(u), on sait que o(1/n^2) = 1/n^2*epsilon(1/n^2) ce qui nous permet de déduire que Un = o(1/n^2)
Merci

Cette notation de Landau n'est pas si compliquée. Tu peux jeter un coup d'oeil à ceci -aussi pour les croissances comparées-

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … andau.html

Tu peux voir qu'à partir du rang $n_0=260$ environ : $0 \lt (\dfrac {1}{2})^{\sqrt{n}} \lt \dfrac {1}{n^2}$, ce qui suffit pour conclure à la convergence de la série.
Par contre tu peux voir que pour n=18 environ c est $(\dfrac {1}{2})^{\sqrt{n}}$ qui est presque 20 fois plus grand que $\dfrac {1}{n^2}$, ce qui ne change rien à la conclusion précédente, puisque cette minoration par 1/n^2  vaut pour un nombre fini de termes (260)

Un = o(1/n^2)
Merci

c'est un comportement asymptotique qui peut être traduit comme suivant :

$ \forall \epsilon \gt 0, \exists n_0$ tel que $ \forall n \gt n_0, 0 \lt u_n \lt \frac {1}{n^2}.\epsilon$

J ai enlevé les valeurs absolues dans le cas de ton sujet

Pour $\epsilon=10^{-6}$ tu as $n_0 \simeq 855$

Dernière modification par yoshi (01-07-2023 14:39:49)

itsalivenger

Invité

Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

En effet un approach que j'ai essayé est comme suivant:
\sum_{k=0}^{\infty } \frac{1}{2}^{\sqrt n} = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2^\frac{1}{\sqrt n}})^{n}
puis on utilise le theoreme de Cauchy de convergence:
\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n}
ce qui nous donne que:
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{\frac{1}{\sqrt n}}} = 1

yoshi

Modo Ferox

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Re : Série Somme des (1/2)^sqrt(n)

Re,

Bel effort.
Pour voir les formules, il faut penser à les encadrer avec les balises tex et /tex (1er icône à gauche de la barre d'outils des messages : sélection de la formule puis clic sur l'icône) ou encore mettre un dollar en début de formule et un autre en fin...
Exemple.
Tu as écris :
\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n} je mets un dollar devant et un derrière et on obtient : $\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n}$
Si tu veux faire plus joli, intercale \limits juste après \lim, comme ça :
\lim\limits_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n} je mets un dollar devant et un derrière et on obtient : $\lim\limits_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n}$

@+