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Vincent62

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Espace tangent et sous-variété

Bonjour,

Je considère [tex]M\subset \mathbb{R}^n[/tex] une sous-variété de dimension [tex]p[/tex] et [tex]a\in M[/tex]. On suppose que sur un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]a[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex], [tex]M[/tex] est définie par l'équation [tex]f(x)=0[/tex] où [tex]f : U\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^{n-p}[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] et de rang [tex]n-p[/tex] sur [tex]U[/tex]. On considère également un paramétrage local [tex]\gamma : V\subset \mathbb{R}^p \to U\cap M \subset \mathbb{R}^n[/tex] de [tex]M[/tex] au point [tex]a[/tex], avec [tex]\gamma(0)=a[/tex]. Alors [tex]ker d_af=Imd_0\gamma[/tex].

L'espace tangent au point a est alors le sous-espace affine de dimension [tex]p[/tex], [tex]T_aM=a+ker d_af=a+Im d_0\gamma[/tex].

J'essaye de comprendre pourquoi l'espace tangent de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] est [tex]\mathbb{R}^n[/tex], et pourquoi l'espace tangent d'un ouvert est l'ouvert lui-même.
Comment peut-on voir cela ?

Merci

Fred

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Re : Espace tangent et sous-variété

J'essaye de comprendre pourquoi l'espace tangent de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] est [tex]\mathbb{R}^n[/tex], et pourquoi l'espace tangent d'un ouvert est l'ouvert lui-même.

Euh, non, l'espace tangent d'un ouvert est l'espace $\mathbb R^n$ tout entier....
On peut voir cela en choisissant (localement) $f(x)=0$, puisque tous les points autour du point $a$ sont dans la sous-variété.

F.

Vincent62

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Re : Espace tangent et sous-variété

Merci Fred.
Ca bloque pour moi. Quand tu dis que l'on choisit [tex]f(x)=0[/tex] localement, je ne comprends pas bien ce que cela siginifie.

J'ai essayé de contourner le problème en utilisant la définition de l'espace tangent (en fait celle d'un vecteur tangent à une sous-variété [tex]M[/tex]) de bibmath.

Soit donc un ouvert [tex]U[/tex] de [tex]\mathbb{R}^n[/tex], un point [tex]x[/tex] de [tex]U[/tex] et un vecteur [tex]v[/tex] de [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Comme [tex]U[/tex] est un voisinage de [tex]x[/tex], alors je peux toujours trouver un [tex]\delta > 0[/tex] tel que pour tout [tex]t[/tex] vérifiant [tex]|t|>\delta[/tex], on ait [tex]tv+x\in U[/tex].
Je pose alors [tex]\gamma : ]-\delta,\delta[\to U, t\to vt+x[/tex], et on a [tex]\gamma(0)=x[/tex] et [tex]\gamma'(0)=v[/tex].
Le [tex]v[/tex] ayant était choisi arbitrairement dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex], on obtient que [tex]T_xU=\mathbb{R}^n[/tex].

Je pense que ça tient la route.

Par contre, je souhaites vraiment comprendre ton passage Fred, qui pour moi est plus théorique.
J'ai également lu ici et là que l'on pouvait choisir l'identité comme carte pour l'ouvert, d'où le résultat ?? Je nage...

Fred

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Re : Espace tangent et sous-variété

Re-

  En utilisant la première définition de sous-variété donnée ici, si $M$ est un ouvert de $\mathbb R^n$, c'est une sous-variété de $\mathbb R^n$ de dimension $n$
en choisissant, pour tout $x_0\in M$, $U=M$ - c'est bien un ouvert -, $f:U\to\mathbb R^{n-n}=\{0\}$ définie par $f(x_0)=0$. On a bien dans ce cas $f^{1}(\{0\})=U=M$.

F.

Vincent62

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Re : Espace tangent et sous-variété

Merci Fred, c'est bien compris.