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#1 02-06-2022 12:30:20
- Vincent62
- Membre
- Inscription : 26-05-2022
- Messages : 314
Continuité d'une application
Bonjour, c'est encore moi !
Je considère [tex]f\in L^1(\mathbb{R})[/tex] et [tex]c[/tex] un réel strictement positif.
Le but est de montrer que pour tout [tex]f\in L^1(\mathbb{R})[/tex], la fonction [tex]\varphi_c(f)[/tex] définie pour tout [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] par [tex]\varphi_c(f)(x)=\int_x^{x+c} f(t)dt[/tex] est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Au départ, j'ai essayé de montrer qu'il existait un réel [tex]M[/tex] strictement positif tel que [tex]|\varphi_c(f)(x)|\le M|x|[/tex], mais l'application [tex]\varphi_c(f)[/tex] n'étant pas linéaire, je ne pouvais rien conclure de cette inégalité.
Ensuite, j'ai essayé de revenir à la définition formelle de la continuité. J'ai donc pour cela considéré la quantité suivante, sur laquelle j'ai travaillée :
[tex]|\varphi_c(f)(x)-\varphi_c(f)(y)|=\frac{1}{c}|\int_x^{x+c}f(t)dt-\int_y^{y+c}f(t)dt|\le \frac{1}{c}(\int_x^{x+c}|f(t)|dt+\int_y^{y+c}|f(t)|dt)\le \frac{2}{c}\|f\|_1[/tex].
En effet, pour tout [tex]x\in \mathbb{R}, \int_x^{x+c}|f(t)|dt\le \int_{\mathbb{R}} |f(t)|dt[/tex].
Le souci, c'est que je ne peux pas rendre la quantité de droite aussi petit que je le souhaiterais.
Voilà, qu'est-ce que je manque ?
Merci !
Dernière modification par Vincent62 (02-06-2022 12:31:28)
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#2 02-06-2022 12:57:23
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Continuité d'une application
Bonjour, c'est encore moi !
[tex]|\varphi_c(f)(x)-\varphi_c(f)(y)|=\frac{1}{c}|\int_x^{x+c}f(t)dt-\int_y^{y+c}f(t)dt|\le \frac{1}{c}(\int_x^{x+c}|f(t)|dt+\int_y^{y+c}|f(t)|dt)\le \dots[/tex].
Voilà, qu'est-ce que je manque ?
C'est cette dernière inégalité qui ne te permet pas te conclure. Il faut d'abord que tu fasses la relation de Chasles pour obtenir une seule intégrale, par exemple en supposant que $x\leq y$ et que $y-x\leq c$ (ce qu'on peut supposer puisqu'on va faire tendre $y$ vers $x$).
F.
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#3 02-06-2022 13:05:27
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 802
Re : Continuité d'une application
Bonjour,
Peut être que tu peux, dans un premier temps, montrer que l'application $\Phi : x\longmapsto \int_0^x f(t)\mathrm et$ est continue.
Tu peux le faire comme tu le proposais en étudiant $\Phi(y)-\Phi(x)$. Je pense que tu verras mieux ce qu'il faut faire (pense en particulier au théorème de convergence dominée de Lebesgue).
Ensuite tu pourras considérer $\Phi(x+c)-\Phi(x)$ pour conclure...
Roro.
P.S. Fred m'a grillé... le relation de Chasles qu'il évoque sert pour faire le lien avec $\Phi(x+c)-\Phi(x)$ dans ce que je te propose.
Dernière modification par Roro (02-06-2022 13:08:34)
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#5 02-06-2022 13:29:33
- Vincent62
- Membre
- Inscription : 26-05-2022
- Messages : 314
Re : Continuité d'une application
Merci Fred !
Encore une question.
On demande de montrer que l'ensemble [tex]E=\{\varphi_c(f),f\in A\}[/tex], avec [tex]A[/tex] une partie bornée de [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex], vérifie les hypothèses du théorème d'Ascoli.
Déjà, il me faut écrire ce que doit vérifier cet ensemble [tex]E[/tex].
Il faut donc que [tex]A[/tex] soit une partie équicontinue, et que l'ensemble [tex]E(x)=\{\varphi_c(f)(x),f\in A\}[/tex] soit relativement compacte dans [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex] pour tout [tex]x\in \mathbb{R}[/tex].
Est-ce que je dis vrai ou est-ce que je divague ?
Merci :)
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