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#1 02-06-2022 08:33:05
- Vincent62
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Sous-variété et graphe d'une fonction
Bonjour,
J'ai la définition suivante pour une sous-variété.
Un ensemble [tex]M\subset \mathbb{R}^n[/tex] est une sous-variété de dimension [tex]p[/tex] au point [tex]a\in M[/tex] s'il existe un voisinage ouvert [tex]U[/tex] de [tex]a[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et une application [tex]f=(f_1,...,f_{n-p})[/tex] de classe [tex]C^1[/tex] telle que :
1) [tex]d_af\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R^{n-p}})[/tex] est de rang [tex]n-p[/tex],
2) [tex]M\cap U=f^{-1}(0)[/tex].
C'est le second point que je ne comprends pas. Cela signifie donc que pour tout point [tex]x\in M\cap U, f(x)=0_{\mathbb{R}^n}[/tex] n'est-ce pas ?
J'ai essayé de comprendre cette définition sur l'exemple suivant.
Soit [tex]f : U\subset \mathbb{R}^p\to \mathbb{R}^m[/tex] de classe [tex]C^1[/tex]. Alors le graphe [tex]\Gamma_f=\{(x,f(x)), x\in U\}\subset \mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^m[/tex] de [tex]f[/tex] est une sous-variété de dimension [tex]p[/tex] de [tex]\mathbb{R}^{p+m}[/tex].
Alors, si j'applique à la lettre la définition, cela signifie qu'il existe une application [tex]g[/tex] de [tex]U\subset \mathbb{R}^{p+m}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^{p+m-p}=\mathbb{R}^m[/tex] telle que [tex]d_ag\in L(\mathbb{R}^{m+p},\mathbb{R}^m)[/tex] est de rang [tex]m[/tex] et que [tex]\Gamma_f\cap U=g^{-1}(0)[/tex].
Est-ce correct ? Si oui, comment déterminer cette application [tex]f[/tex] ?
Merci !
Dernière modification par Vincent62 (02-06-2022 08:40:49)
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#2 02-06-2022 08:45:43
- Fred
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Re : Sous-variété et graphe d'une fonction
Bonjour,
Il faut que tu fasses attention aux notations. Si tu veux démontrer que le graphe de $f$ est une sous-variété, alors tu ne peux pas noter $f$ la fonction à laquelle tu vas appliquer la définition de sous-variété.
Voici ce que je te proposes : tu notes $g:\mathbb R^p\times \mathbb R^m\to\mathbb R^m,\ (x,y)\mapsto y-f(x)$.
Alors la différentielle de $g$ est toujours de rang $m$ (pour cela, je te conseille d'écrire la matrice jacobienne de $g$).
De plus, on a bien $g^{-1}(0)=\Gamma_f$ (dans ce cas, $U=\mathbb R^{m+p}$ et $a$ est n'importe quel point de $\mathbb R^{m+p}$).
Pour fixer les idées, si tu regardes la courbe représentative de la fonction $x^2$, tu peux le décrire sous la forme $\{(x,x^2):\ x\in\mathbb R\}$ ou bien sous la forme $\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ y-x^2=0\}$. C'est la deuxième représentation qui te permet de dire que c'est une sous-variété de dimension $1$ de $\mathbb R^2$.
F.
Hors ligne
#4 03-06-2022 13:20:53
- Vincent62
- Membre
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- Messages : 314
Re : Sous-variété et graphe d'une fonction
Rebonjour,
J'étudie la caractérisation suivante :
Un sous-ensemble [tex]M\subset \mathbb{R}^n[/tex] est une sous-variété de dimension [tex]p[/tex] de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] si et seulement si, pour tout [tex]a\in M[/tex], il existe un difféomorphisme [tex]\varphi[/tex] entre un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]a[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et un voisinage [tex]V[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tel que :
1) [tex]\varphi(a)=0[/tex]
2) [tex]\varphi(M\cap U)=\{(y_1,...,y_n)\in V, y_{p+1}=...=y_n=0\}[/tex].
En gros, le difféomorphisme [tex]\varphi[/tex] envoie les éléments de [tex]M\cap U[/tex] sur un voisinage de [tex]0[/tex], et chaque image admet p coordonnées. C'est bien ça ?
Est-ce que c'est bien ça qui se passe ?
Si je considère par exemple l'ensemble [tex]S^1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, x^2+y^2-1=0\}[/tex].
On a vu que c'était une sous-variété de dimension [tex]1[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Si je me place au point [tex]a=(0,1)[/tex] par exemple, et que je considère [tex]f(x)=x^2+y^2-1=0[/tex]. Alors on a [tex]f(a)=0[/tex].
D'autre part, [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a)=0[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(a)=2[/tex].
Si je me place sur l'ouvert [tex]U=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, y>0\}[/tex], alors [tex]a\in U[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(a)\neq 0[/tex].
Le souci c'est que je ne peux évidemment pas parler de difféomorphisme à cause des dimensions. Il faudrait donc que je "complète" [tex]f[/tex].
Alors j'ai pensé à définir [tex]\varphi(x,y):=(x,f(x,y))[/tex].
Ainsi, pour [tex]u=(u_1,u_2)\in S^1\cap U[/tex], on a [tex]\varphi(u)=\varphi(u_1,u_2)=(u_1,f(u_1,u_2))=(u_1,0)[/tex].
Chaque élément de [tex]S^1\cap U[/tex] est envoyé via [tex]\varphi[/tex] sur un élément de [tex]V[/tex], voisinage de [tex]0[/tex], dont la deuxième composante est nulle.
Est-ce que c'est bien ça ?
Par contre, je ne vois pas pourquoi [tex]V[/tex] doit être un voisinage de [tex]0[/tex] dans la proposition ?
Merci !
Dernière modification par Vincent62 (03-06-2022 13:21:05)
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#5 03-06-2022 13:51:19
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Sous-variété et graphe d'une fonction
Rebonjour,
J'étudie la caractérisation suivante :
Un sous-ensemble [tex]M\subset \mathbb{R}^n[/tex] est une sous-variété de dimension [tex]p[/tex] de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] si et seulement si, pour tout [tex]a\in M[/tex], il existe un difféomorphisme [tex]\varphi[/tex] entre un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]a[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et un voisinage [tex]V[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tel que :
1) [tex]\varphi(a)=0[/tex]
2) [tex]\varphi(M\cap U)=\{(y_1,...,y_n)\in V, y_{p+1}=...=y_n=0\}[/tex].En gros, le difféomorphisme [tex]\varphi[/tex] envoie les éléments de [tex]M\cap U[/tex] sur un voisinage de [tex]0[/tex], et chaque image admet p coordonnées. C'est bien ça ?
Ce n'est pas di de façon très propre. Je dirai plutôt que $\varphi$ envoie les éléments de $M\cap U$ sur l'intersection d'un voisinage de $0$ et d'un sous-espace vectoriel de dimension $p$.
Par exemple, pour une sous-variété de dimension 1, l'image est une droite (ou plutôt une partie de la droite), pour une sous-variété de dimension 2, l'image est un plan, etc...
Est-ce que c'est bien ça qui se passe ?
Si je considère par exemple l'ensemble [tex]S^1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, x^2+y^2-1=0\}[/tex].
On a vu que c'était une sous-variété de dimension [tex]1[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex].Si je me place au point [tex]a=(0,1)[/tex] par exemple, et que je considère [tex]f(x)=x^2+y^2-1=0[/tex]. Alors on a [tex]f(a)=0[/tex].
D'autre part, [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a)=0[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(a)=2[/tex].Si je me place sur l'ouvert [tex]U=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, y>0\}[/tex], alors [tex]a\in U[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(a)\neq 0[/tex].
Le souci c'est que je ne peux évidemment pas parler de difféomorphisme à cause des dimensions. Il faudrait donc que je "complète" [tex]f[/tex].
Alors j'ai pensé à définir [tex]\varphi(x,y):=(x,f(x,y))[/tex].
Ainsi, pour [tex]u=(u_1,u_2)\in S^1\cap U[/tex], on a [tex]\varphi(u)=\varphi(u_1,u_2)=(u_1,f(u_1,u_2))=(u_1,0)[/tex].Chaque élément de [tex]S^1\cap U[/tex] est envoyé via [tex]\varphi[/tex] sur un élément de [tex]V[/tex], voisinage de [tex]0[/tex], dont la deuxième composante est nulle.
Est-ce que c'est bien ça ?
Oui, c'est ça.
Par contre, je ne vois pas pourquoi [tex]V[/tex] doit être un voisinage de [tex]0[/tex] dans la proposition ?
Si $\varphi(a)=0$ et si $\varphi$ est un difféomorphisme de $U$ sur $V$, avec $a\in U$ et $\varphi(a)=0$, alors $V$ est un voisinage de $\varphi(a)=0$.
F.
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