Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

sup et inclusion

Bonjour,

On dit que la suite de v.a.r. [tex](X_n)[/tex] converge presque sûrement vers X si, et seulement si, pour tout [tex]\epsilon >0, P(\cap_{m\in \mathbb{N}}\cup_{n\ge m}{|X_n-X|\ge 0})=0[/tex].

Dans mon cours, il est dit que pour des comparaisons ultérieures, il sera préférable de considérer la caractérisation précédente sous la forme :

[tex]\forall \epsilon >0, lim_{m\to +\infty} P(\sup_{n\ge m} |X_n-X|\ge \epsilon)=0[/tex].

Pour la démonstration, il est dit qu'en effet, d'une part on a :

[tex]\cup_{n\ge m}\{|X_n-X|\ge \epsilon\}\subset \{\sup_{n\ge m} |X_n-X|\ge \epsilon\}[/tex].

et d'autre part...

Déjà, si je m'arrête à cette première partie, je pense comprendre l'inclusion, mais je ne parviens pas à la démontrer formellement.

Pouvez-vous me guide ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : sup et inclusion

Bonjour,

...
[tex]\cup_{n\ge m}\{|X_n-X|\ge \epsilon\}\subset \{\sup_{n\ge m} |X_n-X|\ge \epsilon\}[/tex].
... je pense comprendre l'inclusion, mais je ne parviens pas à la démontrer formellement.

Si $x\in \cup_{n\ge m}\{|X_n-X|\ge \epsilon\}$ alors il existe $n_0\geq m$ tel que $|X_{n_0}-x|\ge \epsilon$.
Dans ce cas, $\sup_{n\ge m} |X_n-x|\ge |X_{n_0}-x| \ge \epsilon$, ce qui termine la preuve de l'inclusion.

Es-tu d'accord ?

Roro.

Dernière modification par Roro (31-05-2022 08:44:03)

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : sup et inclusion

Bonjour Roro,

Oui, merci beaucoup !

J'essaye maintenant de montrer l'inclusion inverse.

Soit [tex]x\in \{\sup_{n\ge m} |X_n-X|\ge \epsilon\}[/tex]. Montrons alors que [tex]x\in\cup_{n\ge m} \{|X_n-X|\ge \epsilon' \}[/tex] pour tout [tex]\epsilon'<\epsilon[/tex], autrement qu'il existe [tex]n_0\ge m[/tex] tel que [tex]|X_{n_0}-x|\ge \epsilon'[/tex].

On a donc que [tex]\sup_{n\ge m} |X_n-x|\ge \epsilon[/tex].

Posons [tex]M:=\sup_{n\ge m} |X_n-x|\ge \epsilon[/tex] et [tex]F:=\{|X_n-X|\ge \epsilon\}[/tex].

Soit [tex]\epsilon'<\epsilon[/tex], alors [tex]\{|X_n-X|\ge \epsilon\}\subset \{|X_n-X|\ge \epsilon'\}[/tex].

Ainsi, [tex]\sup_{n\ge m} \{|X_n-x|\ge \epsilon\} \le \sup_{n\ge m} \{|X_n-x|\ge \epsilon'\}[/tex].

Voilà en j'en suis pour l'instant.
Je ne vois pas comment dégager ce fameux [tex]n_0[/tex].
J'ai appliqué la caractérisation de la borne supérieure, mais sans succès.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : sup et inclusion

Re-bonjour,

Je pense que c'est bien la caractérisation de la borne sup qu'il faut utiliser :

Prenons $x$ tel que $\sup_{n\ge m} |X_n-x| \ge \varepsilon$. Tu sais donc que pour tout $\varepsilon'<\varepsilon$ il existe $n'\ge m$ tel que $|X_{n'}-x|\ge \varepsilon'$.

Ainsi, pour tout $\varepsilon'<\varepsilon$, tu as $x\in \bigcup_{n\ge m} \{X~;~|X_n-X|\ge \varepsilon'\}$.

Roro.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : sup et inclusion

Bonjour Roro,

Je vois. Par définition de la borne supérieure, [tex]\forall \eta>0, \exists n'\ge m, \sup_{n\ge m} |X_n-x|-\eta< |X_{n'}-x|< \sup_{n\ge m}|X_n-x|[/tex]

Or, [tex]\sup_{n\ge m}|X_n-x|\ge \epsilon[/tex] donc [tex]\sup_{n\ge m}|X_n-x|-\eta\ge \epsilon-\eta[/tex], et donc finalement il existe [tex]n'\ge m[/tex] tel que [tex]|X_{n'}-x|>\epsilon-\eta=:\epsilon'[/tex]. On vérifie au passage qu'on a bien [tex]\epsilon'<\epsilon[/tex].

Dernière modification par Vincent62 (01-06-2022 06:56:06)