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Bambs

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Intégrale entre x et 2x

Bonjour :)

Je bloque au milieu d'un exercice, on a une fonction [tex]f(x)=\frac{1}{x-\ln x}[/tex] si [tex]x>0[/tex] et [tex]f(0)=0[/tex]
Après avoir montré la continuité on pose [tex]F(x)=\int_x^{2x}f(t)dt[/tex]
Et il faut montrer [tex]\forall x\geqslant 1,\quad 0\leqslant F(x)-\ln 2\leqslant\frac{\ln 2x}{x-\ln x}[/tex]

On nous rappelle aussi que [tex]\ln 2=\int_x^{2x} \frac{dt}{t}[/tex] et que [tex]\forall x>0,\quad x-\ln x\geqslant 1[/tex]

J'ai tenté de passer par [tex]F(x)-\ln 2=\int_x^{2x}\frac{\ln t}{t(t-\ln t)}dt[/tex] et de majorer ça par la valeur en [tex]2x[/tex] sauf que en fait [tex]t\mapsto \frac{\ln t}{t(t-\ln t)}[/tex] n'est pas du tout croissante...

Merci d'avance

Zebulor

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Re : Intégrale entre x et 2x

Bonjour,
pas à pas :

Et il faut montrer [tex]\forall x\geqslant 1,\quad 0\leqslant F(x)-\ln 2[/tex]

tu peux vérifier que tu as bien $\forall t\geqslant 1$ , $f(t) \ge \frac {1}{t}$

Ensuite pour la majoration j'aime bien la vision géométrique avec les aires et j'aurais bien envie d'écrire que :  $\large F(x)-ln(2) \le (2x-x) Sup_{t \in [x;2x]} f(t)$.. sans valeur absolue pour $f$ compte tenu de son signe sur l'intervalle considéré.

(j'ai grossi le trait à cause d'une presbytie légère)

... et de majorer ça par la valeur en [tex]2x[/tex] sauf que en fait [tex]t\mapsto \frac{\ln t}{t(t-\ln t)}[/tex] n'est pas du tout croissante...

"çà" : .... à ce stade je te laisse chercher pour m'en tenir à la philosophie de ce site

Dernière modification par Zebulor (27-05-2022 18:53:11)

Bambs

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Re : Intégrale entre x et 2x

Merci d'avoir répondu! Voilà où j'en suis dans mes recherches

La première inégalité est immédiate en intégrant $f(t)-\frac{1}{t}$ qui est positif
Mais pour la deuxième on a donc
$$\forall t\in [x,2x],\quad f(t)-\frac{1}{t}\leqslant \max_{t\in [x,2x]} f(t)-\min_{t\in [x,2x]}\frac{1}{t}=f(x)-\frac{1}{2x}$$
Ce qui donne en intégrant entre $x$ et $2x$ :
$$F(x)-\ln⁡2\leqslant x\left(f(x)-\frac{1}{2x}\right)=\frac{x}{x-\ln ⁡x}-\frac{1}{2}$$

Sauf qu'ici ça coince car pour $x$ grand : $\frac{x}{x-\ln ⁡x}-\frac{1}{2}>\frac{\ln 2x}{x-\ln x}$ (la première tend vers $\frac{1}{2}$, la deuxième vers 0)

Sans le $\min_{t\in [x,2x]}$ on aboutit avec une majoration par $\frac{x}{x-\ln ⁡x}$ ce qui fonctionne encore moins parce qu'elle tend vers 1

J'ai essayé $\frac{x}{x-\ln ⁡x}-1$ et celle-là est effectivement inférieure à $\frac{\ln 2x}{x-\ln x}$ pour tout $x\geqslant 1$, mais d'où sortirait alors le -1... aucune idée

Zebulor

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Re : Intégrale entre x et 2x

re,
en me relisant j ai fait une  erreur car ce n est pas $f$ dont il faut considérer le Sup. Je suis d'accord avec ce que tu viens d'écrire.

Si çà coince c'est que la solution est plus simple.

En gardant tout sur le même dénominateur comme dans ton premier post :

$\large F(x)-ln(2) \le (2x-x) Sup_{t \in [x;2x]} \large \frac{\ln t}{t(t-\ln t)}$

En travaillant sur cette inégalité tu te rapproches de la forme demandée et tu as une majoration plus fine, car en prenant un max et un minf comme tu l as fait tu perds de l'information.

Dernière modification par Zebulor (28-05-2022 12:58:00)