Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Bestialement calculatoire

Bonjour,

Tirés de l'excellent site Images des mathématiques
1. Pour chaque couple d’entiers a et b, on définit une opération a⊗b qui vérifie les propriétés suivantes :
    $\begin{cases}a⊗a&=a+2\\a⊗b&=b⊗a\\\dfrac{a⊗(a+b)}{a⊗b}&=\dfrac{a+b}{b}\end{cases}$
    Déterminer la valeur de 8⊗5.
    Quel rapport avec les lapins ?

2. Zoé choisit un nombre à 2 chiffres. Marc additionne les carrés de chaque chiffre, Paul en fait autant avec le résultat de Marc...
    Quel est plus grand nombre que peut obtenir Marc ?

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Bernard-maths

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Re : Bestialement calculatoire

Bonjour à tous !

Pour ceux qui ont connu les années 60-70 (du 20 ème siècle !), on s'amusait beaucoup avec les opérateurs notés * ou autre signe "barbare" ...

Donc pour le 1. j'aurais tendance à proposer  8⊗5 = 120 ! ? Rapport avec les lapins, je vois pas, mais ça me court sur le râble ... :-)

A moins que Fibonnachi ne soit pas loin ?

Et pour le 2. je pense que la somme des carrés des chiffres de Zoé doit contenir un max de gros chiffres : 9, 8 ... Moi je trouve 145 ! ?

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (22-05-2022 14:11:39)

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yoshi

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Re : Bestialement calculatoire

RE,

▼L'opérateur $⊗$

A moins que Fibonnacci ne soit pas loin ?

Bin, qui à part lui a pu s'intéresser aux lapins ? C'est bien, tu auras un bon point, pour l'image - faudra le montrer le rapport (sur le site parmi tous ceux qui avaient répondu, deux seul s'étaient dit : tiens, Fibo, le retour !
Mais, il n'est que cité, aucun n'a établi de lien formel.
120 c'est bon.
Il y a un script Python que j'ai récupéré, il fonctionne par récursivité, ce doit être pourquoi je le trouve "lent".
Je vais voir comment je peux le rendre  Itératif...

▼Zoé, Paul et Marc

Oui, c'est bien 145...

Et pour le 2. je pense que la somme des carrés des chiffres de Zoé doit contenir un max de gros chiffres : 9, 8 ...

Ce fut ma première réaction.
Pourtant :
Z : 99
P --> $9^2\times 2 = 162$
M --> $1+6^2+2^2 = 41$

Z = 98
P --> $9^2+8^2=145$
M --> $1+4^2+5^2= 42$

Z = 97
P --> $9^2+7^2=130$
M --> $1+3^2 = 102$

Z = 88
P --> $8^2\times 2=128$
M --> $1+2^2+8^2 = 69$

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Wiwaxia

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Re : Bestialement calculatoire

Bonjour,

La seconde énigme conduit à un petit programme amusant sur calculatrice:

▼Zoé, Marc et Paul

Zoé: <ij> = 58 ; Marc: 25 + 64 = 89; Paul: 64 + 81 = 145

Il semble qu'il y ait une interversion des deux derniers prénoms:
Zoé choisit un nombre à 2 chiffres. Marc additionne les carrés de chaque chiffre, Paul en fait autant avec le résultat de Marc...
    Quel est plus grand nombre que peut obtenir Paul ?

Dernière modification par Wiwaxia (23-05-2022 10:29:20)

Bernard-maths

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Re : Bestialement calculatoire

Bonjour !

Pour avoir des 8 et des 9, il y a 3 possibilités ... 58, son symétrique, et ...

B-m

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Fred

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Re : Bestialement calculatoire

Salut

▼Lapins

Le lien avec la suite de Fibonacci est le suivant : si $(F_n)$ est cette suite, ce qu'on veut calculer c'est $F_5\otimes F_4$.
Mais on montre assez facilement, par récurrence (et après tatônnements pour trouver la formule...) que
$F_n\otimes F_{n+1}=F_{n+1}\times F_n\times 3.$

F.

yoshi

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Re : Bestialement calculatoire

Bonjour,

Merci, Fred.
J'ai ajouté un petit script Python pour résoudre l'énigme.
L'intérêt est qu'en modifiant uniquement les bornes de la boucle contrôlant le choix de Zoé, on peut passer à Zoé choisit un nombre de 3 chiffres (bornes 100 et 1000 au lieu de 10 et 100. Rappel : Python s'arrête en fait à 99 et 999).
J'ai testé et été surpris de ce que le maximum atteint n'est guère plus grand...

N-B : Images des Mathématiques contient des milliers de défis. Il y a de quoi faire...

@+

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Wiwaxia

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Re : Bestialement calculatoire

Mon programme ne donnait que la première solution trouvée, et la remarque de Bernard-Maths est pertinente: il y a plusieurs solutions au problème, dont une symétrique:

▼Zoé, Marc et Paul

58   89
77   98
85   89 

Wiwaxia

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Re : Bestialement calculatoire

Pour chaque couple d’entiers A et B, on définit une opération A%B qui vérifie les propriétés suivantes :

A%B = A + 2
A%B = B%A
A%(A + B) = (A%B)(a + b)/a

    Déterminer la valeur de 8%5.
    Quel rapport avec les lapins ?

Là, c'est vraiment la méthode bourrin ... mais il y a peut-être plus concis ...

▼Texte caché

8%5 = 5%8 = 5%(5 + 3) = (8/5)(5%3) = (8/5)(3%5) = (8/5)((3%(3 + 2)) = (8/5)(5/3)(3%2) =
... = (8/3)(2%3) = (8/3)(2%(2 + 1)) = (8/3)(3/2)(2%1) = 4(1%2) = 4(1%(1 + 1)) = 4(2/1)(1%1) = 8(1*(1 + 2)) = 24 ... Ouf !

Pour les lapins, aucune idée à part que (3, 5, 8) sont 3 termes consécutifs de la suite de Fibonacci - c'est un peu maigre ...

yoshi

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Re : Bestialement calculatoire

Bonjour,

J'ai moi aussi modifié mon script (rubrique programmation) pour qu'il me donne tous les nombres choisis par Zoe, rangés par ordre croissant et permettant d'atteindre ce maximum.
Il fonctionne sans pb y compris en partant de nombres à 3, 4, 5, 6 chiffres et non plus 2.
Pour 3 chiffres, l'écart du nouveau maxi est faible : on passe de 145 à 162 et de 3 à 9 solutions.
Pour 4 chiffres, le nouveau maxi est 163 et on passe à 12 solutions...
Pour 5 chiffres, le nouveau maxi est 166 et on passe à 30 solutions...
Pour 6 chiffres, le maxi reste 166 et on passe à 1170 solutions...

Remarque : le nb de solutions est toujours multiple de 3.

@+

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Bernard-maths

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Re : Bestialement calculatoire

Bonsoir à tous !

Ah ! Le plaisir de programmer ...

Bon, je pensais à tout ça en me disant que pour avoir un maxi élevé, supposons qu'on ait 999, alors 3 fois 9² = 243 !
Mais pour atteindre un maxi de 999, il faudrait au moins 999 / 81 = 12 ou 13 chiffres pour Zoé !!!

Alors je crois qu'en modifiant le nombre de chiffres de Zoé, il faudrait trouver/modifier la suite des règles de calcul ...

Par exemple, prendre des cubes, puissances n etc ... ou autre encore !

A quand ces règles nouvelles ?

Cordialement, Bernard-maths

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yoshi

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Re : Bestialement calculatoire

Re,

Remarque : le nb de solutions est toujours multiple de 3.

Le maxi de Marc est 178 (+12, pas de quoi casser 3 pattes à un canard) :
L'ensemble des choix possibles de Zoé, générant 178 est :
8888999 8889899 8889989 8889998 8898899 8898989 8898998 8899889 8899898 8899988 8988899 8988989 8988998 8989889 8989898 8989988 8998889 8998898 8998988 8999888 9888899 9888989 9888998 9889889 9889898 9889988 9898889 9898898 9898988 9899888 9988889 9988898 9988988 9989888 9998888
35 solutions
Avec 7 chiffres, ma remarque sur les multiples de 3 est donc fausse...
Par rapport aux nombres choisis entre 2 et 6 chiffres, je trouve digne d'être remarqué que les 35 nombres solutions générant 178 ne sont composés que deux chiffres différents, 8 et 9.

Pour 8, 9 et 10 chiffres je devrais revoir mon script : ce serait bien trop long (pas la patience !).

Les cubes, j'y ai déjà pensé, la modif est très rapide,voilà :
===================== =====================
Le maxi de Marc est 1242
L'ensemble des choix possibles de Zoé, générant 1242 est :
45 54

2 solutions
>>>
===================== RESTART: C:/Python35/Somme des cubes des chiffres.py =====================

Le maxi de Marc est 1801
L'ensemble des choix possibles de Zoé, générant 1801 est :
559 595 955

3 solutions
>>>
===================== RESTART: C:/Python35/Somme des cubes des chiffres.py =====================

Le maxi de Marc est 2187
L'ensemble des choix possibles de Zoé, générant 2187 est :
3369 3396 3639 3693 3936 3963 6339 6393 6933 9336 9363 9633

12 solutions
>>>
===================== RESTART: C:/Python35/Somme des carres des chiffres.py =====================

Le maxi de Marc est 2187
L'ensemble des choix possibles de Zoé, générant 2187 est :
26667 26676 26766 27666 30369 30396 30639 30693 30936 30963 33069 33096 33609 33690 33906 33960 36039 36093 36309 36390 36903 36930 39036 39063 39306 39360 39603 39630 60339 60393 60933 62667 62676 62766 63039 63093 63309 63390 63903 63930 66267 66276 66627 66672 66726 66762 67266 67626 67662 69033 69303 69330 72666 76266 76626 76662 90336 90363 90633 93036 93063 93306 93360 93603 93630 96033 96303 96330

68 solutions

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Dernière modification par yoshi (25-05-2022 19:49:42)

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