Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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2 défis IDM d'Août et Avril 2015

Bonjour,

Le 1er, dédié à Bernard-Maths :

Un cube d’arête $n$ cm est peint, puis découpé en $n^3$ petits cubes d’arête 1 cm. Ainsi certains de ces petits cubes n’ont aucune face peinte, d’autres en ont une, deux ou trois. Pour quel nombre $n$ le nombre de cubes qui n’ont pas de face peinte est-il égal à celui des cubes qui n’ont qu’une seule face peinte ?

Et le 2e :

Un point P est à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC. Soient Q, R et S les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés [AB],[BC] et [AC] et passant par P. Si PQ=1 cm, PR=2 cm et PS=3 cm, combien mesure un côté du triangle ABC ?

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Bernard-maths

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Re : 2 défis IDM d'Août et Avril 2015

Merci Yoshi de penser à moi !

J'ai les réponses, mais je ne veux pas influencer les autres chercheurs habituels ...

Que je souhaite nombreux !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (23-05-2022 13:45:12)

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yoshi

Modo Ferox

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Re : 2 défis IDM d'Août et Avril 2015

Re,

Une solution : utiliser les balises [ spoiler=texte ] et [/spoiler ]
(sans les espaces)
^_^

@+

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Wiwaxia

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Re : 2 défis IDM d'Août et Avril 2015

Re-bonjour,

... Un point P est à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC. Soient Q, R et S les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés [AB],[BC] et [AC] et passant par P. Si PQ=1 cm, PR=2 cm et PS=3 cm, combien mesure un côté du triangle ABC ?

Il y a un lien direct entre les hauteurs (PQ, PR, PS) et les aires des triangles correspondants (PAB, PBC, PCA) ...

▼Texte caché

... Et comme la juxtaposition de ces derniers conduit au grand triangle (ABC), l'aire de celui-ci est égale à la somme des aires de ceux-là:

S(ABC) = S(PAB)  + S(PBC) + S(PCA) = (1/2)(PQ*AB + PR*BC + PS*CA)

soit encore: (1/2)d*d(√3/2) = (d/2)(PQ + PR + PS)

d'où:   d = (PQ + PR + PS)2/√3     

Dernière modification par Wiwaxia (23-05-2022 14:35:07)

Wiwaxia

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Re : 2 défis IDM d'Août et Avril 2015

L'énoncé rappelle celui d'un problème récent ...

▼Texte caché

Le nombre de cubes dépourvus de toute face peinte est, en raison du fait qu'ils sont tous situés à l'intérieur:

N₀ = (N - 2)³ ,

celui de ceux n'en comportant qu'une seule:

N₁ = 6(N - 2)² .

L'égalité de ces 2 nombres entraîne: N - 2 = 6 , d'où la réponse.   

Bernard-maths

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Re : 2 défis IDM d'Août et Avril 2015

Bonjour à tous !

Je vois que Wiwaxia commence à balancer des formules ... J'ai donc envie de prolonger l'énoncé en parlant des cubes peints sur deux faces, ou sur trois, na ! Même question : trouver n pour avoir le même nombre que les cubes non peints ...

A ce propos, il faut que je complète mes cogitations sur le cube 3 x 3 x 3 en 3 couleurs ...

B-m

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Wiwaxia

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Re : 2 défis IDM d'Août et Avril 2015

... Je vois que Wiwaxia commence à balancer des formules ...

Cela m'a paru incomparablement plus facile que de dessiner un assemblage de N³ petits cubes.

▼Texte caché

Et pour continuer sur la lancée, les nombres respectifs de ceux d'entre ces derniers présentant 2 ou 3 faces peintes sont respectivement:

N₂ = 12(N - 2) , N₃ = 8 .

Les justifications m'ont paru immédiates - ce n'est évidemment pas un argument mathématique ...

Même question : trouver n pour avoir le même nombre que les cubes non peints ...

▼Texte caché

# N₂ = N₀ entraîne 12(N - 2) = (N - 2)³,
donc l'équation 12 = (N - 2)² dépourvue de solutions entières.
# Par contre pour N₃ = N₀ , on obtient 8 = (N - 2)³ soit encore: N - 2 = 2 .

Les petits cubes présentant au maximum 3 faces peintes, leur nombre total est donné par la somme des 4 termes précédemment définis:

▼Texte caché

N_tot = N₀ + N₁ + N₂ + N₃ ,

ce qui conduit à:

N_tot = (N - 2)³ + 6(N - 2)² + 12(N - 2) + 8 = ...
= (N³ - 3*2N² + 3*4N - 8) + 6(N² - 4N + 4) + (12N - 24) + 8 = N³

On retrouve bien la valeur initiale.

Dernière modification par Wiwaxia (24-05-2022 06:07:03)