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aimes

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limite de la suite avec LGN

Bonjour,

Soient [tex]X_1, X_2, ...[/tex] des variables aléatoires réelles i.i.d; à valeurs dans[tex][a, \infty[[/tex] pour [tex]a>0[/tex], telles que [tex]m:=\{\mathbb E\}(X_1)\in]0,\infty[[/tex].
Posons $Y_n=X_1\cdot X_2 \cdot ... \cdot X_n$.

a) Calculer ${\mathbb E}(Y_n)$. Quelle est la lime de ${\mathbb E}(Y_n)$ (en fonction de m)?
b) En appliquant la loi forte des grands nombres à la suite [tex]\ln X_n[/tex] montrer que [tex]\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ln(X_i) \longrightarrow \varrho[/tex] presque surement et déterminer la valeur de la constante [tex]\varrho[/tex].

J'ai réussi la première question et j'ai obtenu [tex]m^n[/tex] comme résultat. Mais je sais pas comment obtenir [tex]\varrho[/tex] à partir de [tex]{\mathbb E}(\ln X_i)[/tex].

Quelqu'un a une idée?

Merci

Dernière modification par aimes (03-05-2022 21:41:39)

Michel Coste

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Re : limite de la suite avec LGN

Bonsoir,

N'aurais-tu pas laissé tomber un "presque sûrement" dans ton énoncé ? Que dit la loi forte des grands nombres ?
Par ailleurs, verrais-tu un rapport entre le [tex]Y_n[/tex] de la première question et le [tex]\sum_{i=1}^n \ln(X_i)[/tex] ?

aimes

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Re : limite de la suite avec LGN

Bonsoir,

N'aurais-tu pas laissé tomber un "presque sûrement" dans ton énoncé ? Que dit la loi forte des grands nombres ?
Par ailleurs, verrais-tu un rapport entre le [tex]Y_n[/tex] de la première question et le [tex]\sum_{i=1}^n \ln(X_i)[/tex] ?

Oui c'est presque surement merci, la loi forte des grands nombres dit que la moyenne d'une suite de v.a. iid tends presque surement vers l'espérance de ces v.a..
Oui, [tex]\sum_{i=1}^n \ln(X_i)=ln(Yn)[/tex]. Donc la moyenne est aussi égale à [tex]\frac{ln (Y_n)}{n}[/tex].

Michel Coste

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Re : limite de la suite avec LGN

Bon, et si tu rapproches ça de la loi forte des grands nombres en utilisant la première question, rien ne vient ?

Petit problème : quel sens a [tex]\ln(X_i)[/tex] si [tex]X_i[/tex] prend des valeurs négatives ?

aimes

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Re : limite de la suite avec LGN

Bon, et si tu rapproches ça de la loi forte des grands nombres en utilisant la première question, rien ne vient ?

La seule chose qui me vient à l'esprit est [tex]\frac{ln(Y_n)}{n} \longrightarrow ln(m^n)[/tex] mais je sais par Jensen que c'est faux.

Petit problème : quel sens a [tex]\ln(X_i)[/tex] si [tex]X_i[/tex] prend des valeurs négatives ?

[tex]X_i[/tex] est positive pout [tex]i\in{1, ...., n}[/tex], donc on a pas de problèmes d'application pour le logarithme.

Michel Coste

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Re : limite de la suite avec LGN

Alors tu t'es trompé dans ton énoncé puisque tu dis que les [tex]X_i[/tex] sont à valeurs dans [tex][a,+\infty[[/tex] avec [tex]a<0[/tex].

Que vaut [tex]\ln(\mathbb E(Y_n))[/tex] ? Que vaut  [tex]\dfrac1n\ln(\mathbb E(Y_n))[/tex] ? Tu fais pas mal de fautes d'inattention ...

aimes

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Re : limite de la suite avec LGN

Oui j'ai fait pas mal de fautes de distraction <.<, j'ai corrigé l'énoncé merci.

[tex]ln(Y_n)=ln(m^n)=nln(m)[/tex] donc [tex]\frac{1}{n}ln(Y_n)=ln(m)[/tex]

Par contre j'ai un problème. Si c'est le bon résultat, après par concavité de ln on a que [tex]{\mathbb E}[ln(X)]<ln{\mathbb E}[X][/tex], en appliquant ce résultat on obtient que [tex]ln(m)<ln(m)[/tex]. On est dans un cas particulier?

Dernière modification par aimes (03-05-2022 21:43:01)

Michel Coste

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Re : limite de la suite avec LGN

Bonne remarque.

Prenons un exemple. [tex]X_1[/tex] vaut 1 avec proba [tex]1-p[/tex] et [tex]b>0[/tex] avec proba [tex]p[/tex]. Alors [tex]m=1+p(b-1)[/tex] et [tex]\rho=\mathbb E(\ln(X_1))=p\ln(b)[/tex]. On ne peut pas calculer [tex]\rho[/tex] à partir de [tex]m[/tex].