Mêmes chiffres

Fred · 03-04-2022 10:44:56

Bonjour,

Voici une énigme que l'on m'a soumise et que je n'ai pas vérifié :
parmi les nombres à 3 chiffres, seuls deux possèdent les mêmes chiffres quand on leur soustrait 25%.
Lesquels et surtout pourquoi?

F.

Bernard-maths · 03-04-2022 11:22:13

Bonjour Fred !

Très amusant ! Pour commencer j'en ai trouvé un ... et je vais en trouver d'autre(s) !!! J'en ai au moins 4 !

Mais je laisse chercher les AUTRES !

Il y a permutation circulaire sur les chiffres ...

Dernière modification par Bernard-maths (03-04-2022 12:12:43)

Roro · 03-04-2022 14:36:54

Salut,

J'en trouve plus que demandé... mais je ne suis pas d'accord avec Bernard concernant la permutation circulaire... (sauf si j'ai mal compris la question).

▼Les solutions ?

Une fois qu'on voit les solutions (si elles sont justes), ça peut donner une idée de la preuve ?

Roro.

Dernière modification par Roro (03-04-2022 14:37:33)

Bernard-maths · 03-04-2022 15:30:47

Salut !

Oui, les mêmes mais j'ai commencé avec 216, ses multiples, et puis les autres !

Finalement les multiples de 108, au début je cherchais les multiples de 36 = 4*9 ...

Il y a permutation circulaire des chiffres : abc donne cab !

108 -> 081 ; 216 -> 162 ; 324 -> 243 ; ... ; 972 -> 729 !

Si on dépasse 1000, avec 1080 -> 810 ; 1188 -> 891 ; 1296 -> 972 ; alors ?

1080 - > 0108 = (0+1)08 = 108 -> 810 ; 1188 -> 8118 = (8+1)18 = 918 ->891 ... plus complexe mais semble fonctionner en 2 étapes ???

Mais pas vraiment d'idée de preuve ... sauf divisibilité par 12 !?

B-m

Alors, qu'en pensez-vous ???

Dernière modification par Bernard-maths (03-04-2022 16:46:26)

jpp · 03-04-2022 18:07:04

Salut ,

Un nombre est égal au trois quarts de l'autre . Mais comme la somme de leurs chiffre est la même , on peut donc conclure que parmi les couples recherches , l'un est multiple de 36 , l'autre étant au moins multiple de 9 .

Bernard-maths · 03-04-2022 18:16:33

Salut !

Si le nombre "abc" est multipliable par 3/4, c'est qu'il est divisible par 4. Son 1/4 est ensuite multiplié par 3, le résultat est donc multiple de 3. Comme on a les mêmes chiffres, "abc" est donc multiple de 3. Donc ... multiple de 12 ! Mais je ne vois pas plus. Et pourtant j'ai très vite pris des multiples de 36 ! Pourquoi ?

Dernière modification par Bernard-maths (03-04-2022 18:17:02)

Bernard-maths · 08-04-2022 21:45:36

Bonsoir à tous !

Bonsoir à Fred !

Alors Fred, as-tu des explications pour cet énoncé qui semble mis à mal ?

Cordialement, merci.

Bernard-maths

Wiwaxia · 15-04-2022 07:48:17

Bonjour,

Le sujet a éveillé ma curiosité.

Si l'on considère les deux entiers comportant trois chiffres en écriture décimale

V = <abc> = 100*a + <bc> (avec 0 < a < 10) ,
W = <def> = 100*d + <ef> (avec 0 <= d < 10) ,

et vérifiant de plus 4W = 3V , alors (V) est effectivement divisible par (4) et vérifie la relation:

<bc> = 4*k (avec cette fois 0 < k< 25) .

Les éventuelles solutions résultent de la double énumération (en Basic)

FOR (a, 1, 9, 1)

  FOR (k, 1, 24, 1)

avec pour filtre la présence des mêmes chiffres dans les chaînes de caractères (<abc>, <def>).

Cette condition peut être remplacée par
a) l'identité des sommes des chiffres: S = a + b + c , T = d + e + f , et
b) le fait de retrouver le chiffre des centaines de (W) au niveau du second ou troisième rang de l'autre entier,
soit finalement: (S = T) ET ((d = b) OU (d=c)) .
La stricte équivalence n'est pas établie, mais le second critère est suffisamment restrictif pour permettre une bonne sélection des doublets (V, W).

On retrouve la liste déjà donnée par Roro

  V   = 108   216   324   432   540   648   756   864   972

  W   = 081   162   243   324   405   486   567   648   729

<bcd> = 080   161   242   323   404   484   565   646   727   

On peut remarquer
- que <bc> est multiple de 8 , et
- que (d) correspond systématiquement au chiffre des dizaines (b) du premier entier (V).

Dernière modification par Wiwaxia (16-04-2022 13:24:45)

Bernard-maths · 15-04-2022 08:10:27

Bonjour à tous !

Bonjour Wiwaxia ! Je ne comprends pas la dernière ligne ... 080 devrait donner 060, ... 404 -> 303 ... 161 non divisible par 4 ...

J'ai pas le temps de relire en détail, à plus !

Bernard-maths

Tof · 15-04-2022 10:19:57

jpp a écrit :

Salut ,
Un nombre est égal au trois quarts de l'autre . Mais comme la somme de leurs chiffre est la même , on peut donc conclure que parmi les couples recherches , l'un est multiple de 36 , l'autre étant au moins multiple de 9 .

Bonjour,

et même forcément multiple de 27 ...

Tof

jpp · 15-04-2022 10:46:25

Salut

Tof : entièrement d'accord avec toi puisque la somme de leurs chiffres est multiple de 9 .

Le plus grand des nombres est donc multiple de 108 .

Tof · 15-04-2022 14:01:25

Bonjour,

Il reste à voir pourquoi ce sont tous les multiples de 108 ( dans la tranche de nombres considérée)

Tof

Dernière modification par Tof (15-04-2022 14:01:42)

Tof · 16-04-2022 08:08:32

Bonjour,

Il est clair par-contre qu'à partir de 108, dont 081 est le permuté circulaire, ensuite le phénomène se perpétue toujours dans le rapport 3/4 naturellement puisque les mêmes additions de chiffres se reproduisent ensuite (il suffit de poser les additions pour comprendre).
La seule question à se poser (arithmétiquement) est donc pourquoi il n'y en a pas d'autre que ces multiples de 108...

Il suffit de vérifier que pour chaque chiffre des centaines fixé, les deux seules autres possibilités pour les dizaines et unités ( car on est modulo 36) que celle qui marche ne donnent pas un permuté lorsque multiplié par 3/4.
Un seul nombre est donc valable pour chaque centaine fixée, et les seuls sont bien ceux déjà mentionnés ( les multiples de 108).

Tof

Dernière modification par Tof (16-04-2022 09:41:41)

Wiwaxia · 16-04-2022 13:23:17

Bonjour,

Les deux entiers recherchés (V, W) admettent pour expressions:

V = <abc> = a(1 + 9)² + b(1 + 9) + c = a + b + c + 9(2a + b) + 9²a
W = <def> = d(1 + 9)² + e(1 + 9) + f = d + e + f + 9(2d + e) + 9²d

d'où l'on tire:

V MOD 9 = S MOD 9 , W MOD 9 = T MOD 9 ;

de la présence des mêmes chiffres, il s'en suit l'égalité de leurs sommes (S = T),

(V - W) MOD 9 = (S - T) MOD 9 = 0

et compte tenu du rapport qui intervient entre eux (3V = 4W) et implique la divisibilité de (V) par 4 (V = 4V' , où V' est un entier);

(V - W) MOD 9 = (4V' - 3V') MOD 9 = V' MOD 9 = 0 .

Il existe donc un entier (m) vérifiant: V' = 9m , V = 36m et W = 27m .

Il ne va pas de soi que l'on puisse pousser plus loin la généralisation, quoiqu'il soit tentant d'essayer: une extension de la recherche aux nombres de 4 chiffres fait apparaître de nouvelles paires d'entiers non multiples de 108 et 81.

Il suffit pour cela de tester les entiers de la forme V = 100K₁ + 4K₂ ,
(K₁) variant de 0 à 99 et (K₂) de 0 à 24.
La présence des mêmes chiffres se caractérise par l'égalité des sommes de leurs cubes.

Dernière modification par Wiwaxia (16-04-2022 15:14:32)

Wiwaxia · 19-04-2022 00:39:57

Bonsoir,

Dans chaque séquence à nombre donné de chiffres (100...999, 1000...9999, 10000...99999 etc) on retrouve les valeurs de la séquence précédente multipliées par 10, ainsi que de nouvelles valeurs

LDsnaigTJFw_S%C3%A9rie-1+2+3.png

Figurent dans les 3 colonnes les valeurs des entiers (V, W) ainsi que celle du rapport m = V/36 = W/27 .

Le nombre de solutions augment rapidement: dans le cas de 6 chiffres, il y en a 394 (non données ici).

Dernière modification par Wiwaxia (19-04-2022 08:28:05)

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