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Buu

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Rang d’un endorphisme antisymétrique

Bonjour,

Pour montrer que le rang de u un endomorphisme antisymétrique est pair il est écrit dans un corrigé que :
Comme le spectre de u est inclus dans {0} et puisque rg(u) = dim Im u, il suffit d'exhiber un
endomorphisme antisymétrique de Im u qui ne possède pas 0 comme valeur propre. Or Im u est stable par u
et l'endomorphisme v de Im u induit par u vérifie par restriction la définition d'un endomorphisme
antisymétrique. Cependant, 0 n’appartient pas à  sp(v), car Ker v = Im u n Ker u = {0E} .
Je ne comprend pas en quoi exhiber un endomorphisme antisymétrique de Im u qui ne possède pas 0 comme valeur propre permet d’affirmer que le rang de u est pair.
Merci d’avance pour vos explications

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Rang d’un endorphisme antisymétrique

Bonjour,

  Ceci vient de la réduction des endomorphismes antisymétriques, comme elle est expliquée dans cet exercice.
Un endomorphisme antisymétrique a pour matrice, dans une bonne base, une matrice avec un certain nombre de $0$ sur la diagonale (qui correspondent à la valeur propre $0$), puis des blocs de taille $2$ sur cette diagonale. S'il n'y a pas de $0$ sur la diagonale, c'est que la taille de la matrice est paire, et donc que la dimension de l'espace vectoriel considéré est paire elle aussi.

F.