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Unicité solutions problème Cauchy d'ED à variable séparables

Bonjour tout le monde
J'ai besoin d'aide pour comprendre deux propositions qui se trouvent dans mon cours d'Analyse, dans le chapitre des ED, et portant sur les ED à variables séparables. Et d'après ce que j'ai compris, elles sont censées garantir l'unicité de la solution pour un problème de Cauchy d'ED à variables séparables (je crois).

Je vais l'énoncer ci :

Soit le problème de Cauchy suivant :
$y'=f(x)g(y)\wedge y(x_0)=y_0$ où $x_0\in f, y_0 \in \text{dom} g$
Alors :
1) Si $g(y_0)\neq 0$, alors il existe un voisinnage de $(x_0, y_0)$ tel que ce problème de Cauchy admet une et une seule solution dont le graphe est inclus dans ce voisinnage
2) Si $J$ est un intervalle inclus dans $\text{dom} g$ et que $g$ ne s'annule pas dans $J$, alors ce problème de Cauchy, admet une et une seule solution $\phi$ maximale (dont le graphe ne peut être prolongé sans sortir de $\text{dom} f \times J$

Donc, il faut savoir que dans mon cours ces deux propositions ne sont pas démontrées, si quelqu'un sait, pour peu que la démonstration soit à la portée d'un élève de L1, où peut-on trouver une démonstration des deux propositions.

Ce que je voudrais d'abord comprendre (on verra plus tard pour la suite), c'est en quoi l'annulation de $g$ met en défaut ces deux propositions ?

Merci d'avance pour toute aide :)

Fred

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Re : Unicité solutions problème Cauchy d'ED à variable séparables

Bonjour,

  D'abord, je pense qu'il manque des hypothèses sur $g$ et $f$. Je pense que tu les supposes continues, n'est-ce pas?
Ensuite, la propriété $g(y_0)\neq 0$ intervient dans la démonstration de ce résultat. Sans faire tous les détails, je vais te faire un schéma de preuve. On commence par réécrire l'équation $y'=f(x)g(y)$ sous la forme $\frac{y'}{g(y)}=f(x)$ - tu vois déjà pourquoi on ne veut pas que $g$ s'annule. Notons $G$ une primitive de la fonction $\frac 1g$ et $F$ une primitive de la fonction $f$ - ici, on a besoin de la continuité de $f$ et de $g$ pour l'existence d'une primitive. Notons enfin $H=G\circ y$. Alors $H'=y' G'\circ y=\frac{y'}{g(y)}$ et donc ton équation est équivalente à
$$H'(y)=F'(x).$$
En intégrant, on trouve $H(y)=F(x)+C$. Il faut encore expliquer pourquoi, connaissant $H(y)$, on peut trouver $y$....

Voici un contre-exemple pour le cas où $g$ s'annule. Si tu considères l'équation $y'=3y^{2/3}$ avec $y(0)=0$, alors il y a au moins deux solutions : $y=0$ et $y(x)=x^3$.

F.