Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lkiop562

Invité

Montrer que l'espace est est fermé dans R²

Bonjour,
J'essaie de résoudre un exercices sur les espaces ouverts et fermés, mais je suis un peu perdu pour le coup :

Soit f: R→R et [tex]T_{f} = [/tex]{[tex](x,f(x))\in R^2 : x\in R[/tex]} son graphe. On suppose que f est continu. Montrer que [tex]T_{f}[/tex] est fermé dans R².

Sauf que pour le coup je suis assez perdu, je sais que x [tex]\in[/tex] ]-inf, +inf[ qui est un fermé de R, mais ce n'est pas ce qui est demandé.

En classe, quelqu'un a essayé de m'aiguiller, mais je n'ai pas compris grand chose à ses explications. En gros il m'a dit de poser f(x) = y, et qu'à la fin du raisonnement je devais trouver {0} qui est un fermé. Même si pour le coup, je ne suis plus vraiment certain que ce soit bien ça.

Si quelqu'un aurait une idée de comment procéder, je suis preneur.

Cordialement.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Montrer que l'espace est est fermé dans R²

Bonjour,

  On peut s'y prendre de plusieurs façons. Une des possibilités est de démontrer que $T_f$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue. Voici une possibilité. Tu peux considérer $g:\mathbb R^2\to\mathbb R, (x,y)\mapsto y-f(x)$. La continuité de $f$ fait que $g$ est continue. Maintenant,
$$(x,y)\in g^{-1}(\{0\})\iff g(x,y)=0\iff y-f(x)=0\iff y=f(x)$$
et donc $T_f=g^{-1}(\{0\})$. Il te reste pour conclure à remarquer que $\{0\}$, comme tous les singletons ou tous les intervalles fermés, est un fermé de $\mathbb R$.

F.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Montrer que l'espace est est fermé dans R²

Bonjour,

Une solution moins académique, avec les boules ( en fait les pavés, en choisissant la norme  $\infty$, ça revient au même ).

Si (x,y)  est dans $T_f^c $, $y \ne f(x)$, donc $\exists \alpha > 0  \; |x'-x| < \alpha  => f(x') \ne  y$.
Le pavé ouvert de centre (x,y) de côté $2\alpha$ est donc dans $T_f^c $.
Cet ensemble étant voisinage de chacun de ses points, il est ouvert, $T_f$ est donc fermé.

A.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Montrer que l'espace est est fermé dans R²

Une autre possibilité par caractérisation séquentielle.

Soit $( (x_n, y_n) )$ une suite quelconque d'éléments de $T_f$ convergente vers (x,y) dans $\mathbb{R}^2$.

La suite $(y_n)$ coïncide avec la suite $( f(x_n) )$ de limite f(x) (car f est continue) , donc la limite y de $( y_n)$ est égale à  f(x).
Comme  y = f(x),  le couple  (x,y) est dans $T_f$

$T_f$ est donc fermé puisque contenant les limites de ses suites convergentes.

A.

Dernière modification par bridgslam (29-03-2022 16:01:36)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Montrer que l'espace est est fermé dans R²

Bonjour,

Comme contre-exemple il suffit de prendre la fonction partie entière E, non continue.

le point (1,0) est adhérent à $T_E$, mais E(1) = 1, donc ce point n'est pas dans $T_E$

Puis un exemple de fonction non continue au graphe fermé: x -> 1/x  et f(0) = ce qu'on veut.
Son graphe est la réunion de 3 fermés, donc fermé.

A.

Dernière modification par bridgslam (29-03-2022 15:17:49)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Montrer que l'espace est est fermé dans R²

Enfin une autre façon de procéder:

La diagonale $\Delta$ de $\mathbb{R}^2$ est un fermé homéomorphe à $\mathbb{R}$.
Vu que l'application $h : (x,y) \rightarrow  (\;f(x), y \;) = ( f \;o \;p_1 (x,y) , \;p_2(x,y) \;)$ est continue puisque f et les projections le sont, on voit que $T_f  =  h^{-1}( \Delta) $ est fermé.

Cette dernière "vue" généralise donc la question (en éludant ainsi dans la foulée  tout calcul numérique) en remplaçant $\mathbb{R}$ par n'importe quel espace topologique X séparé ( la diagonale y étant  fermée dans XxX).

Ainsi c'est reformulable de cette manière :

Soit X un espace topologique séparé et f: X -> X une application continue. Alors le graphe de f est fermé dans $X^2$ ( pour la topologie produit)

A.

Dernière modification par bridgslam (29-03-2022 14:25:26)