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#1 27-03-2022 22:43:32
- Driou
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- Messages : 4
Équivalence des définitions de la connexité.
Bonjour,
À propos de la connexité, je suis troublé par l'équivalence entre, avec $E$ un espace topologique :
• $E$ n'est pas la réunion de deux ouverts disjoints non vides
• $E$ n'est pas la réunion de deux fermés disjoints non vides.
En effet, et par exemple, il est sûr que $\mathbb{R}^*$ n'est pas connexe, car c'est la réunion de deux ouverts non-vides disjoints qui sont $\left]-\infty~,0\right[$ et $\left]0,\infty~\right[$. Mais quels fermés non-vides disjoints pourrais-je prendre pour que leur réunion soit égale à $\mathbb{R}^*$ ?
Merci d'avance !
Dernière modification par Driou (27-03-2022 23:34:00)
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#2 27-03-2022 23:08:09
- Junior ste
- Membre
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- Messages : 93
Re : Équivalence des définitions de la connexité.
Salut.
Posé bien ton problème stp..
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#4 28-03-2022 06:44:33
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Équivalence des définitions de la connexité.
Bonjour,
Ton problème vient je pense de la notion de fermé et d'ouvert relatif. Par exemple, $]-\infty,0[$ est bien un fermé de $\mathbb R^*$ (mais bien sûr pas de $\mathbb R$). Par exemple, si tu prends une suite $(u_n)$ de $]0,+\infty[$ qui converge vers $\ell\in\mathbb R^*$ (et donc en particulier $\ell\neq 0$), alors forcément $\ell\in ]0,+\infty[$.
F.
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#5 28-03-2022 07:44:45
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : Équivalence des définitions de la connexité.
Bonjour,
Une partie Y d'un espace X est connexe <=> Y n'est pas réunion de deux ouverts non vides de Y.
Avec $Y = \mathbb{R}^*$ vous voyez bien que le complémentaire de $] -\infty , 0[$ dans Y est $] 0, +\infty [$ , ouvert dans $\mathbb{R}$ donc dans $\mathbb{R}^*$.
$] -\infty , 0[$ est donc un fermé de Y. Idem pour l'autre intervalle.
La connexité d'une partie a trait au sous-espace topologique associé à cette partie ( si rien n'est précisé, avec la topologie induite par celle de l'espace ).
Il faut alors être prudent sur les notions de convergence des suites.
$ (1/n) \in Y^{\mathbb{N^*} } $ n'est pas une suite convergente dans l'espace $Y = \mathbb{R}^*$ et c'est normal:
sinon sa limite serait non nulle puisque les images de cette suite sont dans la partie $]0, +\infty[$ de Y, qui est fermée.
A.
Dernière modification par bridgslam (28-03-2022 07:56:36)
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#6 28-03-2022 22:12:00
- Driou
- Membre
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- Messages : 4
Re : Équivalence des définitions de la connexité.
Merci beaucoup pour votre aide. Question subsidiaire, si je peux me le permettre : est-ce que $\left[0,1\right]$ est un ouvert de $\left[0,1\right]$, eu égard des faits que son complémentaire est $\emptyset$ dans cet ensemble, que $\emptyset$ est un fermé et que le complémentaire d'un fermé est un ouvert ?
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