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SkyZh0

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Espace vectoriels

Bonsoir, je bloque sur une question de mon DM, en voilà l’énoncé:

Exercice 4 : Soit [tex] \begin{equation}
P=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \quad \mid \quad x+2 y-4 z+t=0 \quad \text { et } \quad 2 x-y+z-2 t=0\right\}
\end{equation}[/tex]
et [tex] \begin{equation}
H=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \quad \mid \quad 3 x+y-3 z-t=0\right\}
\end{equation}[/tex]

1. Montrer que P est un espace vectoriel et en déterminer une base.
2. Montrer que H est un espace vectoriel de dimension 3.
3. Montrer que P est inclus dans H.
4. Déterminer un supplémentaire D de P dans H.
5. Déterminer un supplémentaire Q de P dans R⁴ tel que D ⊂ Q.

J’ai en effet réussi à traiter les question 1,2, et 3.

Seulement pour les question 4 et 5 j’ai de gros problèmes.

—> Pour la question 3 j’ai compris qu’il fallait D = H \ P et donc D = Vect(baseH) - Vect(baseP) seulement je ne sais ni le rédiger ni comment obtenir une forme convenable pour D.

—> Pour la question 4, même problème.

Merci de votre aide et bonne soirée(ou journée).

Dernière modification par SkyZh0 (23-03-2022 23:03:32)

Roro

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Re : Espace vectoriels

Bonjour,

Pour la question 4, tu cherches $D$ tel que $P\oplus D = H$.

Tu sais que $D$ sera un sous-espace vectoriel de H, de dimension $1$. Il suffit donc de trouver un vecteur non nul $u$ qui soit dans $H$ et pas dans $P$.
Tu auras alors $D=\mathrm{vect}(u)$.

Idem pour la question 5...

Roro.

P.S. Fais bien attention aux notations que tu utilises. On a l'impression que tu confonds supplémentaire et complémentaire. En particulier tu n'auras pas $D=H\setminus P$ (sinon $0$ ne serait pas dans $D$...). De la même façon, je ne sais pas ce qu'est la différence entre deux espaces...

Dernière modification par Roro (24-03-2022 08:01:52)

SkyZh0

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Re : Espace vectoriels

Bonjour, merci beaucoup pour ta réponse j’essaye ça entre midi et deux.

Ps: désolé pour les notations j’ai essayé de faire passer mon idée mais c’était faux et maladroit.