Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marcomiarintsoa

Membre

Inscription : 25-10-2021

Messages : 12

Polynômes

Bonjour j'ai besoin d'aide svp
1) Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}$ [$X$] $P=X^6+27$.
2)$P=X^3+pX+q$.Trouver une condition de p et q pour que P ait une racine double
Merci d'avance

Dernière modification par Marcomiarintsoa (22-03-2022 19:59:37)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Polynômes

Bonsoir,

Peux-tu nous dire ce que tu as essayé et pourquoi tu bloques ?

Une indication pour la question 1 : connais-tu les racines n-ème de l'unité ?

Roro.

Marcomiarintsoa

Membre

Inscription : 25-10-2021

Messages : 12

Re : Polynômes

Oui je connais le racine n-ième de l'unité.mais je n'ai pas d'idée pour cette exo

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Polynômes

Bonjour,

Pour la question 1, tu peux essayer de décomposer dans $\mathbb C$ en trouvant les racines de $P$.

Pour la question 2, quel critère as-tu pour dire qu'une racine d'un polynôme est double ?

Roro.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Polynômes

Bonjour,

  Ce que suggère Roro, c'est d'abord de factoriser $X^6+27$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$.
Pour cela, il s'agit de trouver les racines de $X^6+27$, c'est-à-dire les racines 6-ièmes de -27.
Une fois qu'on a la décomposition en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on trouve la décomposition
en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ en regroupant les facteurs $(X-z)(X-\bar z)$, sachant que si $z$
est une racine de $P$, alors $\bar z$ est aussi une racine de $P$.

F.