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#1 18-03-2022 15:11:21
- bridgslam
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etude d'une fonction réelle sur RxR
Bonjour,
Suite à un exo relatif à une fonction f définie sur $\mathbb{R}^2$ par $f(x,y) = min( x^2, y^2)$ qu'on me demande d'étudier dans les moindres détails ( continuité, dérivées partielles, différentiabilité, $C^1-différentiabilité$) j'en suis aux résultats suivants:
- f est continue partout
- en tous (x,y) tels que $|x| \ne |y|$ f admet des dérivées partielles continues
- f n'admet pas de dérivées partielles aux points où $|x| = |y| \;\;non \; nul $ ( nombres dérivés droite-gauche $\ne$)
- f est différentiable en (0,0) ( sa différentielle est nulle )
- le plus grand ouvert sur lequel f est de classe $C^1$ est $\{ (x,y), |x| \ne |y| \}$.
Merci de m'indiquer si vous avez un moment si vos opinions divergent/convergent et/ou en quoi c'est faux.
A.
Dernière modification par bridgslam (18-03-2022 15:23:23)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#3 18-03-2022 17:05:09
- bridgslam
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Re : etude d'une fonction réelle sur RxR
Bonjour,
OK et merci pour le courage.
Je l'ai finalement entrée sur geogebra : https://www.geogebra.org/3d/ruwdn8v4
En annexe déterminer les équations des deux paraboles de pseudo "pliage", mais là c'est enfantin.
Je pense que le but de l'exo devait être de faire remarquer que les différentes notions et nuances sur ces questions
n'engendrent pas des implications dans tous les sens... une petite cartographie des implications véridiques n'est pas superflue pour s'y retrouver.
Alain
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#5 20-03-2022 13:11:55
- bridgslam
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Re : etude d'une fonction réelle sur RxR
Bonjour,
Oui, en effet sauf en (0,0) où le "pliage" est le seul lieu où il se superpose dans toutes les directions du plan ( et mieux c'est différentiable en ce point).
On pourrait aussi regarder les dérivées dans une direction donnée du plan xOy ( selon un vecteur d'après la terminologie en vigueur je crois).
Ca marche partout sauf erreur et dans toutes les directions, sauf au points de pliages (sauf à l'origine) où seule celles des diagonales fonctionnent
( à moins de parler pour les autres de demi-directions orientées, dans ce cas on a en dim 3 l'analogue des fonctions différentiables à droite et à gauche, de nombres dérivés différents ).
Cet aspect n'était pas demandé.
Alain
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