Forum de mathématiques - Bibm@th.net

NokiYola

Membre

Inscription : 14-03-2022

Messages : 4

démonstration d'un corrollaire du théorème de Dynkin

Bonjour à tous!
J'essaye d'apprendre la théorie d'intégration de Lebesgue et pour l'instant je le fais moi-même en suivant ce poly : https://perso.univ-rennes1.fr/jean-chri … besgue.pdf

à la page 16 (indexation du poly) on retrouve un théorème de Dynkin dont l'énoncé est le suivant (je préfère préciser parce que j'en ai vu d'autres sur internet)

Théorème de Dynkin:
soient deux mesures finies $\mu_1$ et $\mu_2$ sur (X,$\mathcal{A}$) de même poids $(\mu_1(X)=\mu_2(X)\leq +\infty)$, qui coïncident sur $\mathcal{C}\subset \mathcal{A}$, sous famille stable par intersections finies (on parle de $\pi$-système) et qui engendre $\mathcal{A}$. Alors $\mu_1$ et $\mu_2$ sont égales sur $\mathcal{A}$

voici le corollaire dont il est question:

Corollaire:
soit $(X,\mathcal{A})$ un espace mesuré et $\mu_1$, $\mu_2$ deux mesures telles que $X=\cup_{1 \leq n} X_n$ avec $\mu_1(X_n)=\mu_2(X_n)<+\infty$. Si $\mu_1$ et $\mu_2$ coïncident sur une famille $\mathcal{C}\subset \mathcal{A}$ stable par intersection ($\pi$-système) contenant les ensembles $X_n,1\leq n$ et qui engendre $\mathcal{A}$.
Alors $\mu_1=\mu_2$ sur $\mathcal{A}$.

Voici ensuite les deux premières phrases de la démonstration sur laquelle je suis bloqué depuis des heures:
Quitte à remplacer les $X_n$ par $Y_n = \cup_{k=1}^n X_k$, $1\leq n$, et à utiliser la croissance séquentielle de $\mu_1$, $\mu_2$, on peut supposer les $X_n, 1\leq n$ croissants. Le théorème de Dynkin s'applique à $\mu_1^{(n)}=\mu_{1_{|X_n}}$ et $\mu_2^{(n)}=\mu_{2_{|X_n}}$ puisque ce sont des mesures finies de même poids.

Pour moi rien ne va là-dedans...
Premièrement on a $\mu_1(X_n)=\mu_2(X_n)<+\infty$ mais ça ne présage rien à priori de ce qu'il se passe sur $Y_n = \cup_{k=1}^n X_k$. J'ai réussi (enfin je crois) à démontrer par récurrence la formule suivante $\mu(\cup_{k=1}^{p})=\sum_{i=1}^{p} (-1)^{i-1}\sum_{\sigma\in I_{i,p}}\mu(\cup_{j=1}^{i}A_{\sigma(j)})$ pour des $A_i$ de mesure finies et $I_{i,p}$ l'ensemble des injections croissantes de $[| 1,i |]$ dans $[| 1,p |]$. Je passe cette démo par soucis de concision mais on peut du coup affirmer que $\mu_1(Y_n)=\mu_2(Y_n)<+\infty$ pour tout $1\leq n$ grâce à la formule et au fait que les $X_i$ sont dans $\mathcal{C}$ et que $\mathcal{C}$ se conserve par intersection finie.

La suite est l'endroit où je bloque. Pour appliquer Dynkin à $\mu_{1_{|Y_n}}$ et $\mu_{2_{|Y_n}}$ il faut que les deux soient de mesure finie sur une partie génératrice (facile avec la formule) et qu'elles coïncident sur cette partie génératrice. Je ne vois que $\mathcal{C}_{Y_n}=\{c\cap Y_n, c\in \mathcal{C}\}$  comme partie génératrice. On montre facilement via la formule que les deux coïncident sur $\mathcal{C}_{Y_n}$ et donc, via Dynkin, sur $\sigma(\mathcal{C}_{Y_n})$.

Et c'est là tout le problème. parce qu'après on a besoin de prendre un élément $A$ de $\sigma(\mathcal{C})$ pour avoir $\mu_1(A\cap Y_n)=\mu_2(A\cap Y_n)$, pour tout $1\leq n$ et faire l'équivalent d'un passage à la limite (croissance séquentielle) et étendre l'égalité à tous élément de $\sigma(\mathcal{C})$.

Le problème c'est qu'avec ce que j'ai fait il faut que $\sigma(\mathcal{C}_{Y_n})=\sigma(\mathcal{C})_{Y_n}=\{A\cap Y_n, A\in \sigma(\mathcal{C}) \}$. L'inclusion de gauche à droite est simple, on montre facilement que $\sigma(\mathcal{C})_{Y_n}$ est une tribu qui contient $\mathcal{C}_{Y_n}$. L'autre inclusion semble évidente, si on a $A\cap Y_n$ avec $A\in \sigma(\mathcal{C})$ on imagine bien que si $A$ est généré par $\mathcal{C}$ (i.e $A$ est une union d'intersection d'unions, etc d'éléments de $\mathcal{C}$) alors on peut générer $A\cap Y_n$ avec des éléments de $\mathcal{C}_{Y_n}$ mais je n'y arrive pas...

Donc soit j'essaye de tuer une mouche avec un bazooka, soit je veux bien qu'on m'explique pourquoi $\sigma(\mathcal{C}_{Y_n})=\sigma(\mathcal{C})_{Y_n}$ et pourquoi c'est évident.

En tout cas merci à ceux qui ont eu le courage de lire mon post!

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 912

Re : démonstration d'un corrollaire du théorème de Dynkin

Bonjour,

Pour moi rien ne va là-dedans...
Premièrement on a $\mu_1(X_n)=\mu_2(X_n)<+\infty$ mais ça ne présage rien à priori de ce qu'il se passe sur $Y_n = \cup_{k=1}^n X_k$.

Vu  qu'il s'agit d'une réunion finie, la mesure de cette réunion étant inférieure à la somme des mesures individuelles (en nombre fini donc) , la mesure de la réunion est donc finie aussi.

Alain

NokiYola

Membre

Inscription : 14-03-2022

Messages : 4

Re : démonstration d'un corrollaire du théorème de Dynkin

Bonjour Alain et merci pour cette réponse!
Maintenant que vous en parlez je me souviens d'une espèce d'inégalité triangulaire pour mesure du style $\mu(A\cup B) \leq \mu(A)+\mu(B)$. Ca prouve bien la finitude de $\mu(Y_n)$ mais je pense qu'il faut bien la formule pour montrer que $\mu_1(Y_n)=\mu_2(Y_n)$. D'ailleurs l'inégalité se démontre avec la formule appliquée au cas $p=2$ il me semble.

NokiYola

Membre

Inscription : 14-03-2022

Messages : 4

Re : démonstration d'un corrollaire du théorème de Dynkin

Encore merci Alain,

donc si j'ai bien compris on dit que $\mu(Y_n)\leq \sum_{k=1}^{n} \mu(X_i) < +\infty$, et qu'on montre facilement que $\mu_1$ et $\mu_2$ coïncident sur $\mathcal{C}_{Y_n}$ alors on applique Dynkin et on obtient que $\mu_1(Y_n)=\mu_2(Y_n)$.

Le premier problème c'est que pour appliquer mon Dynkin je dois avoir $\mu_1(Y_n)=\mu_2(Y_n)$ à priori (ça fait partie des hypothèses).

Le second problème c'est qu'alors on a appliqué Dynkin sur $\sigma(\mathcal{C}_{Y_n})$ et qu'après pour conclure la démonstration j'ai besoin d'avoir $\mu_1$ et $\mu_2$ qui coïncident sur $\sigma(\mathcal{C})_{Y_n}$. Ce serait le cas bien sûr si l'on avait $\sigma(\mathcal{C}_{Y_n}) = \sigma(\mathcal{C})_{Y_n}$ mais cette égalité n'est pas vraie à priori! (c'est peut-être simple à démontrer mais je m'y arrache les cheveux^^)

En tout cas merci pour les suggestions de cours j'ai commencé à regarder!

NokiYola

Membre

Inscription : 14-03-2022

Messages : 4

Re : démonstration d'un corrollaire du théorème de Dynkin

Bonjour Alain et merci encore pour vos réponses!

Je débute dans ces théories et je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous me dîtes. Voici un résumé de ce que je comprends :

• $X_n\in \mathcal{C}$ et $\mu_1(X_n)=\mu_2(X_n)$ pour n entier non nul par hypothèse

• Comme $Y_n=\cup_{i=1}^{n} X_i$ il va de soit que $Y_n\in \sigma(\mathcal{C}_{Y_n})$ (ou bien voulez-vous dire que $Y_n\in \sigma(\mathcal{C})$?) puisque $\sigma(\mathcal{C_{Y_n}})$ (resp $\sigma(\mathcal{C})$) contiennent ce qu'il faut pour générer les $Y_n$ avec des unions dénombrables et sont des tribus (stables par union dénombrable donc...)

En revanche je ne comprends pas en quoi l'on peut appliquer Dynkin avec ça puisqu'il faut montrer en amont $\mu_1(Y_n)=\mu_2(Y_n)$, même si démontrer que ces deux mesures sont finies est simple comme vous l'avez justement fait remarquer.
Je ne comprends pas non plus en quoi cela permet de conclure la démonstration en général puisqu'il restera à démontrer $\sigma(\mathcal{C_{Y_n}})=\sigma(\mathcal{C})_{Y_n}$ , étant donné que (pour ce que j'en comprends) Dynkin ne permet d'étendre l'égalité des deux mesures que sur $\sigma(\mathcal{C_{Y_n}})$.

En bref, pourriez-vous expliciter un peu plus vos arguments? notamment à quelle tribu engendrée et quelle famille "engendrente" vous faites référence pour appliquer Dynkin, ou comment vous obtenez $\mu_1(Y_n)=\mu_2(Y_n)$?

En vous remerciant,

Nicolas

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 912

Re : démonstration d'un corrollaire du théorème de Dynkin

Bonjour,

En fait  vous pouvez montrer (par récurrence par exemple )  puisque les $Y_n = \cup_{ 1 \le n } X_i$ restent dans la tribu sur X, et que si deux mesures coïncident sur les $X_i$ elles coïncident sur les $Y_j$ .

Par exemple il est facile de le montrer dans le cas n=2  en utilisant la différence ensembliste puis d'étendre à n fini quelconque
(on le retrouve dans la preuve de Dynkin directement d'ailleurs, c'est immédiat).
Tout se passe bien dans les écritures car il n'y a pas de valeur infinie de chaque mesure sur les $X_i$ (par hypothèse).

C'est ensuite qu'on utilise la  limite croissante, car $( Y_n )$ est croissante et tend vers X.

Il faut nécessairement ensuite faire intervenir les tribus trace ( avec les coupes sur les $X_n$ ) et les mesures induites dessus puisque les conclusions de Dynkin s'appliquent uniquement ( avec la finitude des mesures ) sur chaque $X_n$.
On retombe sur ses pieds à la fin par passage à la limite pour chacune des mesures.

Une approche très claire ici aussi ( page 181) , ça revient à ce qu'on a dit.
http://matheron.perso.math.cnrs.fr/ense … yIntL3.pdf

A.

Dernière modification par bridgslam (17-03-2022 17:24:20)