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#1 10-03-2022 22:05:17
- maths48
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Exercice : ouvert, fermé, compact
Bonsoir,
J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LCku2kChrNA
Voici ce que j'ai fait :
1. A est fermé, borné, c'est donc un compact.
Soit f(x,y,z) = x, on a f continue et f-1([1,2]) = A avec [1,2] fermé ainsi A est fermé
Je ne sais pas comment justifier le fait qu'il est borné à part dire "cela se voit"...?
2. B est ouvert.
Soit f(x,y) = x2 - 84x + y4, on a f continue et f-1(]-infini, -1763[) = B avec ]-infini, -1763[ un ouvert ainsi B est un ouvert.
3. C est fermé (je ne suis pas sûr de celle-ci le fait que pi soit infini me perturbe un peu...)
J'ai donc quand même utilisé la même méthode :
Soit f(x) = x4 + x, on a f continue et f-1(]-infini, pi]) = C avec ]-infini, pi] fermé ainsi C est fermé mais non borné.
Encore une fois je ne vois pas comment le justifier proprement...?
Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance,
Bonne soirée
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#2 10-03-2022 22:26:19
- Fred
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Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Bonjour,
1. A n'est pas borné (essaie de représenter l'ensemble en dimension 2, et tu le verras facilement).
2. Tu n'as rien dit sur B borné. Il est borné, car si (x,y) est dans B, on a forcément y^4<1, et donc -1<y<1 et (x-42)^2<1, donc ...<x<...
3. C est borné, car si tu poses f(x)=x^4+x, alors f(x) tend vers +oo si x tend vers +oo ou -oo.
F.
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#5 11-03-2022 09:09:04
- bridgslam
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Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Bonjour,
L'indication de Fred te montre essentiellement ( propriété suffisante, nettement plus forte ) qu'en dehors d'un intervalle borné de $\mathbb{R}$ f dépasse strictement $\pi$, donc ...
Il n'est cependant évidemment pas nécessaire d'avoir ces limites infinies aux bornes de $\mathbb{R}$ pour retomber sur ses pieds.
Par exemple la fonction g: x -> 3 + sin (x) en dehors de [0,1] et nulle sur [0,1] possède la propriété que $\{x; g(x) \le 1 \}$ est borné.
g est cependant bornée.
A.
Dernière modification par bridgslam (11-03-2022 09:10:30)
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#6 11-03-2022 09:20:21
- bridgslam
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Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Bonjour,
Sinon dans un espace métrique (X,d) donné, une partie Y est bornée signifie aussi que soit Y est vide (diamètre $-\infty$), soit de diamètre fini.
C'est le point de vue "interne" en quelque sorte.
Avec les boules, dans $\mathbb{R}$ la propriété revient à dire qu'il existe r>0 |Y| < r ( on reconnait une boule de centre l'origine),
inégalité bien connue par ailleurs sans même faire de topologie.
A.
Dernière modification par bridgslam (11-03-2022 09:20:49)
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#7 11-03-2022 09:40:55
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
3.[...]
Soit f(x) = x4 + x, on a f continue et f-1(]-infini, pi]) = C avec ]-infini, pi] fermé ainsi C est fermé mais non borné.
Sinon il faut faire attention, même si la fonction est continue.
$f: ] 0,1] \rightarrow \mathbb{R} \; x \rightarrow 1/x $ applique clairement (et bijectivement ici) un intervalle borné sur un intervalle non borné ( ils sont du même "genre" par-contre ).
Il faut être très prudent dans tes affirmations, les théorèmes sont précis et des résultats vrais pour certaines propriétés ( fermés, ouverts,...) peuvent être complètement faux pour d'autres ( bornés... )
A.
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#8 13-03-2022 14:16:57
- maths48
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- Messages : 185
Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Bonjour,
Merci beaucoup de vos réponses !
L'indication de Fred te montre essentiellement ( propriété suffisante, nettement plus forte ) qu'en dehors d'un intervalle borné de $\mathbb{R}$ f dépasse strictement $\pi$, donc ...
Merci de l'avoir formulé ainsi, je n'avais pas directement compris.
Il faut être très prudent dans tes affirmations
C'est ma formulation qui laisse à désirer le "ainsi" n'avait rien à faire là effectivement et un petit rappel fait toujours du bien :)
A n'est pas borné
J'ai représenté l'ensemble, je comprends pourquoi il n'est pas borné.
Pour justifier ceci : si je dis A n'est pas borné puisqu'il n'est pas contenu dans une boule ouverte de rayon r > 0 est-ce suffisant ?
Dernière modification par maths48 (13-03-2022 14:17:15)
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#9 13-03-2022 14:26:11
- Fred
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Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Pour justifier ceci : si je dis A n'est pas borné puisqu'il n'est pas contenu dans une boule ouverte de rayon r > 0 est-ce suffisant ?
A mon avis, non. Je dirais plutôt : pour tout entier $n$, considérons $u_n=(1,n,0)$. Alors $u_n\in A$ et $\|u_n\|\geq n$ donc $\lim \|u_n\|=
=+\infty$. Ainsi, $A$ n'est pas borné.
F.
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#13 13-03-2022 21:12:57
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Parce que j'ai fait comme toi, j'ai représenté $A$, et j'ai choisi des points sur une droite qu'il contient (c'est peut-être plus clair si on représente $A$ dans le plan en oubliant la coordonnée en $z$).
F.
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#15 14-03-2022 07:52:52
- bridgslam
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Re : Exercice : ouvert, fermé, compact
Bonjour,
si je dis A n'est pas borné puisqu'il n'est pas contenu dans une boule ouverte de rayon r > 0 est-ce suffisant ?
Dans un espace métrique quelconque, dire qu'une une partie P est non bornée revient à dire qu'elle ne vérifie pas la propriété donnée par Fred.
Donc P n'est contenue dans aucune boule.
remarque: si une partie est bornée, elle est aussi contenue dans une boule dont le centre est quelconque. Mais un point suffit.
C'est assez intuitif. Si tu te trouves dans une certaine périphérie de Marseille, ta distance à Lille est forcément majorée...
A.
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