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Darklucario

Invité

Calcul différentiel

Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez bien.
Je galère à calculer (une simple) dérivée partielle composée. J'ai beau appliquer la formule, je m'emmêle les pinceaux, pourriez-vous m'aider svp ?

On pose pour x fixé et c une constante $v(t) = u(t, x + ct)$, j'aimerais calculer $\frac{\partial v}{\partial t}$ et $\frac{\partial v}{\partial x}$, merci d'avance !

bridgslam

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Re : Calcul différentiel

Bonsoir,

En notant $t$ et $l$ respectivement les coordonnées de temps et d'espace dont u dépend, sauf erreur:
$\partial v / \partial t  = \partial u / \partial t + c \;\partial u / \partial l $
$\partial v/\partial x = \partial u / \partial l = 0$

A.

Dernière modification par bridgslam (12-03-2022 10:59:46)

Darklucario

Invité

Re : Calcul différentiel

Bonsoir, merci de votre retour,
Par $l$ vous entendez $x$ ? Si non, quelle est la relation entre $l$ et $x$ ?

Fred

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Re : Calcul différentiel

Bonjour,

  Ce que tu écris est paradoxal : tu dis que $x$ est fixé, et ensuite tu veux dériver par rapport à $x$....
Si tu veux faire varier $x$, alors tu dois écrire $v(t,x)$.

F.

Darklucario

Invité

Re : Calcul différentiel

Bonjour,

bien sûr vous avez raison, je pense que j'ai mal interprété l'exercice.
Voici l'énoncé complet :
Soient a, b, c 3 réels (c $\neq$ 0) et $u_{0} \in C^{1}(\mathbb{R})$. Soit le problème d'inconnue $(t,x) \in [0, \infty [ \times \mathbb{R} \rightarrow u(t,x) \in \mathbb{}R$,
$\frac{\partial u}{\partial t}+ c \frac{\partial u}{\partial x} - au - bu^{2} = 0$ et $u(0, x) = u_{0}(x)$

On suppose qu'il existe u solution du problème, montrer que pour tout réel x, la fonction v définie par v(t) = u(t, x + ct) est solution d'une équation différentielle ordinaire qu'on résoudra (on pourra utiliser une décomposition en éléments simples de $\frac{1}{av+av^{2}}$).

Si x est fixé, est ce que $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$ ? Dans ce cas on aurait $\frac{\partial v}{\partial t} = av + bv^{2}$ ? Par contre je ne vois pas comment utiliser l'indication. 

Encore désolé de ne pas avoir mis l'énoncé complet directement, j'aurais du commencé par là

Fred

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Re : Calcul différentiel

Il n'y a pas à parler de la dérivée de v par rapport à x puisque v est une fonction d'une seule variable, t. Et effectivement v vérifie l'équation différentielle que tu donnes.

F

bridgslam

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Re : Calcul différentiel

Bonjour,

J'avais hésité au moment du premier post à souligner que le dernier terme est nul, ça me semblait si évident.
C'est corrigé.
Il n'y a pas de paradoxe dans son écriture.
Par exemple $f(t) = t^2 = u(t, x) = t^2 +x-x$.
On peut en effet s'apercevoir après coup que x ne joue pas.
Écriture pas logique, mais non paradoxale pour moi.

A.

Fred

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Re : Calcul différentiel

Ce qui est "paradoxal" - terme mal choisi, j'aurais dû dire "faux" peut-être - c'est de parler de deux dérivées partielles $\frac{\partial v}{\partial t}$ et $\frac{\partial v}{\partial x}$ quand on a affaire à une fonction d'une seule variable.