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akramkimo

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question sur les fonctions

Bonjour. j'ai une question svp.
Soit $f$ une fonction positive croissante  de classe $C ^1$ telle que
$\underset{t \to +\infty}{\lim} \; f(t) =+\infty$    et     $\underset{t \to + \infty}{\lim} \; \frac{f'(t)}{f(t)} =0$ et à partir d'un certain rang $f'(t) \neq 0$
Je veux montrer que
$$\exists n \geq n_0 \; \text{tel que}\;  \forall t \geq n : \frac{f'(t)}{f(t)} \geq e^{-\mu t} \; \;\text{avec} \; \mu , n_0>0$$

Remarque: je ne sais pas si cette proposition est vraie !!
On peut supposer par l'absurde que
$$\forall n  \geq n_0 \;  \exists t_n \geq n : \frac{f'(t_n)}{f(t_n)} < e^{-\mu t_n}$$
Mais est-ce que ça donnera un résultat !!!!

Remarque 2: est ce que je peux trouver un contre exemple au cas où la proposition si dessus est fausse.
Merci

Dernière modification par akramkimo (10-03-2022 23:24:25)

Roro

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Re : question sur les fonctions

Bonsoir,

As-tu regardé ce qui se passe avec la fonction $f(t)=t$ ?

Roro.

Dernière modification par Roro (10-03-2022 21:10:39)

Fred

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Re : question sur les fonctions

Bonsoir,

  C'est faux. Considère $A$ une fonction continue, positive, telle que $A(t)=1/t$ si $t\in [n,n+1/4]$, (pour tout entier $n$), et $A(t)=0$ si $n\in [n+1/2,n+3/4]$, et pose

$$f(t)=\exp\left(\int_1^t A(x)dx\right).$$

Alors puisque $\int_1^t A(x)dx\to +\infty$ quand $t\to+\infty$, on a $f(t)\to +\infty$.
De plus, $f'(t)/f(t)=A(t)$ et c'est souvent égal à $0$ donc ta propriété ne peut pas être vérifiée.

Cette forme de fonction ne tombe pas du ciel. J'y ai pensé car j'ai cherché à résoudre l'équation différentielle $f'(t)=A(t)f(t)$,
puis j'ai cherché ce que je pouvais imposer sur $A$ pour avoir un contre-exemple.

F.

akramkimo

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Re : question sur les fonctions

Merci pour les réponses, mais si j'ajoute les conditions: $ f$ de classe $C^2$ et à partir d'un certain rang $f'(t) \neq 0$

Fred

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Re : question sur les fonctions

Ce serait aussi possible en régularisant la fonction A ci dessus.

akramkimo

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Re : question sur les fonctions

merci, mais comment svp

Fred

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Re : question sur les fonctions

Si tu prends des intervalles fermés disjoints $(I_n)$ et $(a_n)$ des réels, il existe toujours une fonction de classe $C^\infty$ telle que $f=a_n$ sur $I_n$. Ce n'est pas complètement évident à démontrer, on parle de fonction plateau.