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Pages : 1
#2 05-03-2022 19:24:04
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 230
Re : serie
hello;
bonjour,
je souhaite une aide pour le sujet que voici:$\varsigma=exp(\frac{i2\pi }{n})$ soit $S=\sum_{0}^{n-1}\sigma ^{k^2}$
montrer que $\left|S \right|=n$
sos merci prenez soin de vous
Anastase. (j'ai essaye
sans résultat)
Est ce que ça ne serait pas $S=\sum_{k=0}^{n-1}\sigma ^{k^2}$ ?
Par récurrence sur $n$ ?
Dernière modification par Zebulor (05-03-2022 19:28:11)
Hors ligne
#3 05-03-2022 19:47:03
- Paco del Rey
- Invité
Re : serie
Bonsoir.
Le résultat demandé est faux pour $n \neq 1$.
Paco.
#6 05-03-2022 20:30:06
- Paco del Rey
- Invité
Re : serie
C'est toujours faux. Il manque une racine.
Paco.
#9 07-03-2022 10:21:12
- Anastase
- Membre
- Inscription : 02-01-2022
- Messages : 25
Re : serie
hello;
Anastase a écrit :bonjour,
je souhaite une aide pour le sujet que voici:$\varsigma=exp(\frac{i2\pi }{n})$ soit $S=\sum_{0}^{n-1}\sigma ^{k^2}$
montrer que $\left|S \right|=n$
sos merci prenez soin de vous
Anastase. (j'ai essaye
sans résultat)Est ce que ça ne serait pas $S=\sum_{k=0}^{n-1}\sigma ^{k^2}$ ?
Par récurrence sur $n$ ?
bonjour, pouvez-vous m'aider. merci. Anastase
Hors ligne
#11 07-03-2022 13:25:32
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : serie
Bonjour,
Ce n'est pas si facile. C'est naturel de calculer $|S|^2=S\bar S$. En développant, on trouve
$$|S|^2=\sum_{k,l=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2i\pi (k^2-l^2)}n\right)=\sum_{k,l=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2i\pi(k-l)(k+l)}n\right).$$
L'idée est ensuite de faire le changement de variables $(s,t)=(k-l,k+l)$. Si $(k,l)$ parcours $\{0,\dots,n-1\}^2$, $(s,t)$ parcourt un ensemble un peu compliqué $A$ mais ce n'est pas très grave de ne pas connaitre $A$ car il suffit de connaitre $A$ "à $n$ près". Plus précisément, on a $\exp\left(\frac{2i\pi st}n\right)=\exp\left(\frac{2i\pi uv}{n}\right)$ si $s=u+r\times n$ et $v=v+r'\times n$. Autrement dit, ceci ne dépend que de la classe de $(s,t)$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z\times \mathbb Z/n\mathbb Z$. Maintenant,
il faut remarquer que $(k,l)\mapsto (k+l,k-l)$ est une bijection de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ceci se démontre en faisant la résolution du système, et c'est le point où on utilise que $n$ est impair (de sorte que $\bar 2$ est inversible dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$).
Ainsi, on a prouvé que
$$|S|^2=\sum_{s=0}^{n-1}\sum_{t=0}^{n-1}\exp\left(\frac{2i\pi st}n\right)$$
et la conclusion est maintenant "standard".
F.
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