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Physcitech

Invité

Analyse complexe - fonctions entières

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien ! J'ai un peu de mal avec cet exercice, ca fait plusieurs heures que je cherche mais je ne trouve pas de pistes solides. Voici l'énoncé :

Soient g, h deux fonctions entières telles que $(e^{h(z)}+1)(g(z)+g'(z)) = 1$.
On suppose de plus que $g(0) = 1$ et $g(1) = 2 - e^{-1}$. Trouver $g(2)$.

On sait que g et h sont des fonctions entières donc j'ai posé $g(z) = \sum^{\infty}_{n=0}a_{n}z^{n}$ et $h(z) = \sum^{\infty}_{n=0}b_{n}z^{n}$. Puisque $g(0) = 1$, on en déduit $a_{0} = 1$.

Ensuite je ne sais pas quoi faire, merci d'avance !

Paco del Rey

Invité

Re : Analyse complexe - fonctions entières

Bonjour.

La fonction \( h \) ne prend pas la valeur \( i\pi \) ni la valeur \( -i\pi \).

Paco.

Physcitech

Invité

Re : Analyse complexe - fonctions entières

Bonjour,

Oui je suis d'accord jusque là, où voulez vous en venir ?

Paco del Rey

Invité

Re : Analyse complexe - fonctions entières

Que peut-on dire d'une fonction entière qui ne prend pas deux valeurs distinctes ?

Paco.

Physcitech

Invité

Re : Analyse complexe - fonctions entières

Ho, je comprends, d'après le théorème de Picard (le petit) on en déduit que h est une fonction constante. Puisque c'est une fonction entière $h = b_{0}$.

On en déduit $g'(z) + g(z) = \frac{1}{e^{b_{0}}+1}$, d'où $g_{p}(z) = \frac{1}{e^{b_{0}}+1}$, $g_{h}(z) = A.e^{-z}$ et $g(z) = g_{h}(z) + g_{p}(z) = A.e^{-z} + \frac{1}{e^{b_{0}}+1}$.
De la condition $g(0) = 1$ on obtient $A = \frac{e^{b_{0}}}{e^{b_{0}}+1}$ et de la condition $g(1) = 2 - e^{-1}$ on obtient, c'est là que ca coince : $e^{b_{0}}= - \frac{1}{2}$. Vous voyez si c'est plutot une erreur de raisonnement ou juste le calcul ?

Paco del Rey

Invité

Re : Analyse complexe - fonctions entières

Quel est le problème ? Je confirme toutes tes réponses.

Paco.

Physcitech

Invité

Re : Analyse complexe - fonctions entières

Dans ma tête $b_{0}$ était réel, autant pour moi. J'obtiens donc $b_{0} = -ln (2) + i\pi$ et $A = -1$. D'où $g(z) = -e^{-z} + 2$ et $g(2) = 2 - e^{2}$.
Merci beaucoup pour votre aide !