triangle isocèle et angle à la base

DdKg · 02-03-2022 11:10:06

Bonjour,

J'aimerais savoir comment "démontrer" avec les outils du collège (< 5ème) que si un triangle possède deux d'angles de la même mesure, alors il est isocèle.

La réciproque s'obtenant de ce que la symétrie axiale conserve les mesures d'angles, la médiatrice de la base étant un axe de symétrie du triangle isocèle.

Comment trouver une démonstration élégante et la plus élémentaire qui soit de ce fait là?

Merci pour toute réponse ou piste envisageable.

Bernard-maths · 02-03-2022 12:19:55

Bonjour à tous !

@DdKg : dans quel cadre envisages-tu ta question ? Prof ? Elève ? Curieux ? Objectif(s) ?

Quelle est pour toi la définition d'un triangle isocèle, comme point de départ ?

On pourra alors y réfléchir ... :-)

Bernard-maths

DdKg · 02-03-2022 12:34:34

Merci pour votre intervention.

C'est effectivement la question d'un prof, un prof curieux qui aime sa discipline.
Un triangle isocèle est un triangle avec (au moins) deux côtés de même longueur.

Bernard-maths · 02-03-2022 13:46:56

Bonjour prof DdKg !

Ma dernière 5ème doit remonter à 200* ? Avec * < 5. Mais enfin, j'ai envie de parler de pliage symétrique ...

Soit un triangle ABC tel que Angle B = Angle C, et soit H le milieu de [BC].

Par "pliage-symétrie" par rapport à H, on peut superposer [HC] sur [BC] [HB]... les angles en B et C étant égaux, les 1/2 droites [CA) et [BA)des autres côtés se superposent aussi ... et passent donc par le point A ... donc CA = BA ... d'où ABC isocèle !!!???

Voilà de quoi réfléchir, je suis pas sur à 100%, mais ça devrait pouvoir se présenter ...

à plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-03-2022 15:34:29)

yoshi · 02-03-2022 14:03:42

Bonjour,

si un triangle possède deux d'angles de la même mesure, alors il est isocèle.

On part d'une définition :
On dit qu'un triangle qui a deux côtés de même longueur est un triangle isocèle.
Est qualifié d'isocèle...
Pourquoi isocèle ?
Isocèle, du grec
- iso : égal
- skelos : jambes...

Tu veux, partant de deux angles égaux dans un triangle, montrer que les deux côtés auxquels ils sont adjacents sont égaux ?
C'est bien ça ?

Si oui, je te propose une démo n'utilisant que le programme de 6e/5e mais qui n'est pas faisable telle quelle par un élève de 5e : il aurait besoin d'être guidé par des étapes intermédiaires... et un peu plus rompu aux démos (ce qui n'est pas vraiment le cas).
Un "bon élève" de 4e, après 2 trimestres de géométrie, guidé peut-être...
Un bon élève de 3e, guidé, c'est probable à 75 % maxi...

Prérequis :
- connaître la définition du triangle isocèle
- connaître la propriété : si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux. (c'est la réciproque qu'on cherche à montrer.)
- connaitre les propriétés du rectangle (6e)
- avoir fait la leçon sur le parallélogramme (5e)
- avoir fait la leçon : Parallélisme et angles (alterne-internes, alterne-externes, correspondants) (5e).

On considère un triangle ABC tel que $\widehat{CBA}=\widehat{BCA}$
Je trace la perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe [BC] en H.
Je trace la perpendiculaire en C à (BC) et la perpendiculaire en A à (AH) : elles se coupent en K.
Par construction, le quadrilatère AHCK a 3 angles droits :
$\widehat{AHC}$ , $\widehat{HAK}$ et $\widehat{HCK}$
Si un quadrilatère a 3angles droits alors c'est un rectangle.
Donc AHCK est un rectangle.
Je trace la diagonale [HK]
Un rectangle a ses diagonales de même longueur et elles ont le même milieu. Soit I ce milieu.
On a donc IH = IC.
Le triangle IHC qui a 2 côtés de même longueur est un triangle isocèle et donc ses angles à la base sont égaux :
$\widehat{CHI}=\widehat{ICH}$
Le point I milieu des diagonales [AC] et [KH] est donc sur [AC] et [HK].
H est sur [BC] par construction
Je peux donc récrire l'égalité ainsi $\widehat{CHK}=\widehat{ACB}$
Or l'énoncé me donne : $\widehat{CBA}=\widehat{BCA}$

J'en déduis que $\widehat{CHK}=\widehat{CBA}$
Ces deux angles étant en position d'angles correspondants et égaux, on conclut que (BA)//(HK)
On a construit (AH) perpendiculaire à (BC) et (AK) perpendiculaire à (AH) on a donc (AK) // (BC)

Le quadrilatère AKHB, dont les 4 côtés sont parallèles deux çà deux est donc un parallélogramme.
Or, dans un parallélogramme les côtés opposés sont de même longueur et ici en particulier : HK = BA
Mais HK = AC puisque [HK] et [AC] sont les deux diagonales du rectangle AHCK.
Donc BA =AC...
Le triangle BAC est donc isocèle de base [BC]

Je vais essayer de trouver plus "élémentaire"...

@+

[EDIT]
@B-M
Moi, ça remonte à l'année 2006-2007 dernière année avant ma retraite.
Je n'ai jamais vu cette démo...

Qu'est-ce que tu appelles pliage symétrie par rapport à H ?
Symétrie centrale de centre H?
Si oui, pas d'accord ! A ne donne pas A.

Symétrie orthogonale d'axe (AH) ?
Pas d'accord non plus : tu ne peux pas dire B --> C.
C'est présupposer que H, en plus d'être le milieu de [BC] est le pied de la hauteur abaissée de A sur [BC] ce qui n'est vrai que dans un triangle... isocèle

Dernière modification par yoshi (02-03-2022 14:34:50)

Bernard-maths · 02-03-2022 15:37:27

@ Yoshi !

Je viens de rectifier en rouge un "lapsus calami" !!!

Mon "pliage-symétrie" veut dire replier [BC] sur lui-même ...

J'espère que c'est plus clair !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-03-2022 15:39:05)

Michel Coste · 02-03-2022 16:06:53

Bonjour,

Jamais enseigné en 5e, mais j'essaie tout de même.
Soit [tex]AH[/tex] la hauteur du triangle issue de [tex]A[/tex].
Les sommes des angles dans les triangles rectangles [tex]ABH[/tex] et [tex]AHC[/tex] sont toutes deux égales à 180°, donc les angles [tex]\widehat{BAH}[/tex] et [tex]\widehat{HAC}[/tex] sont égaux.
Par pliage selon [tex]AH[/tex], la demi-droite [tex]AB[/tex] se superpose donc à la demi-droite [tex]AC[/tex] et comme la demi-droite [tex]HB[/tex] se superpose à la demi-droite [tex]HC[/tex], [tex]B[/tex] se superpose à [tex]C[/tex].

yoshi · 02-03-2022 18:43:11

Bonjour,

Mixhel Coste a écrit :

Par pliage selon AH, la demi-droite AB se superpose donc à la demi-droite AC

C'est vrai.
Mais ce n'est pas une propriété de niveau Collège (il n'y a guère plus que là qu'on fasse des démos de géométrie de ce type.
Pliage selon (AH) : désolé, en Collège, on leur apprend dès la 6e (et on les oblige à utiliser les notations :
droite (AH), demi-droite d'origine A : passant par H : [AH), segment d'extrémités A et H : [AH], longueur de [AH] : AH...
Maintenant, même si lorsque moi j'étais Lycéen, on n'était pas si formaliste, maintenant le masque est devenu une 2nde peau, je serais gêné de ne pas l'utiliser...

Donc le pliage selon (AH) c'est la symétrie orthogonale d'axe (AH) dans laquelle A et H sont invariants.
Dans le triangle AHB rectangle en H :
$\widehat{ABH}$ et $\widehat{BAH}$ sont complémentaires :$\widehat{ABH} +\widehat{BAH} = 90°$
ans le triangle AHB rectangle en H :
$\widehat{ACH}$ et $\widehat{CAH}$ sont complémentaires :$\widehat{ACH} +\widehat{CAH} = 90°$
Or, par hypothèse, $\widehat{ABH} = \widehat{ABH}$

Les angles $\widehat{BAH}$ et $\widehat{CAH}$ sont donc égaux comme ayant le même complément.
Jusque-là, d'accord...

Mais-là :

Par pliage selon (AH), la demi-droite [AB) se superpose donc à la demi-droite [AC) et comme la demi-droite [HB) se superpose à la demi-droite [HC), B se superpose à C

même si c'est vrai, il y a un non-dit, un chaînon manquant...
Pour moi, c'est comme on disait : on voit que !...

Quoique je viens de découvrir que dans les instruction du cycle 4 figure :

eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 7
CYCLE I MATHÉMATIQUES I Espace et géométrie4
Retrouvez Éduscol sur
• Une rosace est formée d’un motif de base, qui se répète régulièrement par une rotation de
centre O donné, et dont l’angle a pour mesure en degré un diviseur entier de 360. Une telle
rosace est contenue dans un cercle de centre O.
• Les polygones réguliers, qui ne sont pas mentionnés en tant que tels dans le programme,
n’ont pas à faire l’objet d’une définition formalisée. Ce sont néanmoins des objets d’étude
intéressants qui, à l’instar des précédents, permettent de modéliser des situations naturelles
(étoiles de mer, nids d’abeilles hexagonaux, ...), des objets technologiques (écrous, enjoliveurs
d’une roue de voiture, ...), des œuvres d’art visuelles (rosaces, vitraux, ...), etc. Les polygones
réguliers peuvent être vus comme des rosaces particulières, ce qui autorise une construction à
l’aide de rotations.
(...)
Le raisonnement et la démonstration
Le raisonnement intervient de façon diversifiée (déductif, par l’absurde, etc.). La
démonstration est introduite avec prudence, sur des situations simples, qui nécessitent un
argument de vérité dans le modèle de la géométrie abstraite², et sans décourager les élèves.
Pour créer la possibilité d’îlots de démonstration, le professeur peut donner une liste – de
longueur raisonnable – de définitions et théorèmes à connaître, en veillant à ce que cette liste
soit cohérente et qu’elle permette de résoudre un nombre suffisant de problèmes.
Dans ces problèmes, il convient de dissocier l’exigence de résoudre la tâche, qui est source de
motivation, de celle de communiquer cette résolution en rédigeant une démonstration. Cette
dernière activité, pourtant essentielle et spécifique aux mathématiques, est plus délicate ; elle
doit être conduite de façon progressive, non systématique, différenciée selon l’appétence et
le niveau des élèves. Il convient surtout d’éviter les rédactions trop longues, trop lourdes, qui
égarent les élèves et les détournent de la résolution d’un problème. Si la rédaction formalisée
d’une démonstration n’est pas un attendu du collège, l’exercice progressif du raisonnement
est un objectif fondamental.

Alors, ils l'apprendront quand la rédaction formalisée d’une démonstration ? Lorsque j'étais en activité, on nous disait de ne pas exiger un raisonnement de plus de deux pas.
Je vois que les choses ne s'arrangent toujours pas...
Il y a une sacrée marge entre ce que j'ai étudié en 6e/5e de Lycée, ce que j'ai enseigné dans la première décade de ma carrière et maintenant.
Pour ce que j'ai enseigné en 4e, il y a quand même des notions dont je ne regrette pas la disparition tels les Barycentres...

Pour revenir au chaînon manquant, on a réintroduit en 5e les cas d'égalité des triangles (ils sont admis) pas pour les démos, mais pour
pouvoir construire des triangles donnés...
Donc, les 2 triangles AHB et AHC ont les deux angles aigus égaux et le côté [AH] en commun.
2e cas d'égalité des triangles : les 2 triangles AHB et AHC sont égaux (donc superposables) d'où B se superpose à C...

@+

Michel Coste · 02-03-2022 23:11:45

Désolé, mais peux-tu être plus explicite ? Quel est le chaînon manquant ??
Je n'arrive pas à comprendre d'après ce que tu écris.

De mon côté, j'en vois bien un : c'est que les demi-droites [AB) et [AC) sont "de part et d'autre" de (AH), autrement dit que B et C sont bien dans des demi-plans différents délimités par (AH). Mais s'ils étaient dans le même demi-plan, on aboutiraient à l'absurdité que B=C.

Ceci étant admis, la demi-droite [AB') image par symétrie orthogonale d'axe (AH) est donc dans le même demi-plan que [AC). On a deux demi-droites [AB') et [AC) dans le même demi-plan délimité par (AH) et telles que les angles HAB' et HAC sont égaux. On n'aurait pas le droit au collège d'en déduire que ces deux demi-droites coïncident ?

Je répète : où est le chaînon manquant selon toi ?

Bernard-maths · 03-03-2022 07:05:40

Bonjour à tous ! Dont DdKg !

Bon, on tourne autour du pot ... après rectification de la faute de frappe en #4 ... je vais approfondir !

Je reprends un peu l'histoire : un triangle ABC est isocèle de sommet A si, et seulement si, AB =AC. Alors par symétrie par rapport à la hauteur-médiatrice (AH), on en déduit que les angles en B et C sont égaux (isométriques ?).

Maintenant DdKg voudrait montrer que si dans un triangle ABC les angles en B et C sont égaux, alors ce triangle est isocèle de sommet A ...

Donc j'ai "dit" que si H est le milieu de [BC], on peut par symétrie "replier" [HC] sur [HB], ce qui suppose la symétrie par rapport à la médiatrice de [BC] ! On "constate" que la 1/2 droite [CA) se superpose à la 1/2 droite [BA), et "maillon faible" que donc ... ???

Alors, A est-il, ou non, sur la médiatrice de [BC] ? Si oui, on est content, AB = AC, etc ...

Et sinon ? Supposons que la médiatrice de [BC] recoupe le côté [AB] en un point D ... alors DB = DC ! Donc DBC isocèle de sommet D. Et égalité des 2 angles {DBC} et {DCB} ... mais on a par hypothèse que {ABC} = {ACB}, d'où égalité des 2 angles {ACB} et {DCB} ...

Voilà donc 2 angles égaux de sommet commun C, de côté commun [CB], situés dans le même demi plan (contenant A par rapport à (BC)), et ayant 2 autres côtés distincts : [CD] et [CA] !!! C'est ... absurde ? Donc ... A sur médiatrice de [BC].

Il faut arranger ça à votre goût, mais on doit pouvoir "raisonnablement" faire ce genre de cogitation en 5ème ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-03-2022 08:30:21)

Michel Coste · 03-03-2022 10:40:13

Bonjour Bernard,

J'ai lu la correction que tu viens d'écrire, finalement tu utilises le même argument que moi (deux angles égaux dans le même demi-plan etc.) mais je trouve que je l'utilise de manière beaucoup plus simple et directe.
Je rappelle : [AH] la hauteur, les angles BAH et HAC égaux, donc [AB) vient coïncider avec [AC) par pliage selon (AH) et comme [HB) vient aussi coïncider avec [HC) on en déduit que B vient coïncider avec C.

Bernard-maths · 03-03-2022 12:09:24

Bonjour Michel !

Ce que demande DdKg, c'est de partir de l'égalité de 2 angles, pour en déduire que le triangle est isocèle !

Si tu suppose [AH] la hauteur, et les 2 angles BAH et HAC égaux, c'est que ABC est isocèle de sommet A, et tu en déduis l'égalité des angles B et C ... je crois que ce n'est pas le même problème ...

B-m

Michel Coste · 03-03-2022 14:15:01

Tu as dû zapper mon message plus haut (#7) où j'explique comment on obtient sans peine l'égalité des angles BAH et HAC à partir de l'égalité des angles en B et C et de la considération des triangles rectangles BAH et HAC.

Dernière modification par Michel Coste (03-03-2022 16:19:59)

Bernard-maths · 03-03-2022 21:32:51

Bonsoir Michel !

Après ... réflection ... enfin ... "on " a foncé tête baissée, avec ce qu'on connaît, ou en tenant compte "un peu des prérequis" !

Le programme de 5ème est un programme charnière pour des connaissances "basique" de géométrie. J'ai du enseigner 3 années en 5ème ... c'est peu, et j'ai plutôt oublié.

Ta solution est évidemment la plus simple ... si on connaît la somme des angles, les propriétés du triangle isocèle, etc ...

Moi j'ai essayé d'éviter cela ... Yoshi a fait autrement ...

Donc pour apporter la "meilleure réponse", il faudrait demander à DdKg ce qu'il "a fait avant" de chercher une réciproque.

Bonne soirée, Bernard-maths

Michel Coste · 05-03-2022 09:14:08

Apparemment DdKg s'est désintéressé de sa question.

Dernière modification par Michel Coste (05-03-2022 09:14:40)

RoKeN · 19-08-2025 13:33:21

Bonjour,

M'étant posé la même question, je suis tombé sur cette discussion intéressante. Personnellement, la démonstration de Yoshi me plait bien, même si les deux autres sont valides.

En voici une autre, qui me semble assez simple pour des 5ème :

ABC est un triangle tel que [tex]\widehat{ABC}=\widehat{ACB}[/tex] et AB < AC.
On trace B' sur la demi-droite [CB] tel que AB' = AC.
AB'C est un triangle isocèle, donc [tex]\widehat{AB'C}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}[/tex].
Les angles égaux et correspondants [tex]\widehat{AB'C}[/tex] et [tex]\widehat{ABC}[/tex] donnent (AB) // (AB').
Donc B = B' et ABC est un triangle isocèle.
(il y a en réalité derrière cette conclusion une preuve par l'absure car contradiction avec l'hypotèse de départ AB < AC, mais je ne pense pas que ce soit à évoquer avec des 5ème...)

RoKeN

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#1 02-03-2022 11:10:06

triangle isocèle et angle à la base

#2 02-03-2022 12:19:55

Re : triangle isocèle et angle à la base

#3 02-03-2022 12:34:34

Re : triangle isocèle et angle à la base

#4 02-03-2022 13:46:56

Re : triangle isocèle et angle à la base

#5 02-03-2022 14:03:42

Re : triangle isocèle et angle à la base

#6 02-03-2022 15:37:27

Re : triangle isocèle et angle à la base

#7 02-03-2022 16:06:53

Re : triangle isocèle et angle à la base

#8 02-03-2022 18:43:11

Re : triangle isocèle et angle à la base

#9 02-03-2022 23:11:45

Re : triangle isocèle et angle à la base

#10 03-03-2022 07:05:40

Re : triangle isocèle et angle à la base

#11 03-03-2022 10:40:13

Re : triangle isocèle et angle à la base

#12 03-03-2022 12:09:24

Re : triangle isocèle et angle à la base

#13 03-03-2022 14:15:01

Re : triangle isocèle et angle à la base

#14 03-03-2022 21:32:51

Re : triangle isocèle et angle à la base

#15 05-03-2022 09:14:08

Re : triangle isocèle et angle à la base

#16 19-08-2025 13:33:21

Re : triangle isocèle et angle à la base

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