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Marvin007

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Théorème de Fermat

Bonjour ,

j'envoi ce message car j'ai essayé de résoudre cet exercice avec un tableau, et je voulais savoir si il y avait une autre méthode (autre que le tableau).

Voici l'exercice :
Montrer que pour tout n entier naturel 5n^3+n , est divisible par 6.

Dans le tableau j'ai pu mettre les valeurs de n , n^3 et 5n^3+n . *Je choisirai le symbole = pour la congruence*

Par exemple pour n = 1[6] (n congru à 1 modulo 6)

n^3 = 1[6]

5n^3= 5[6]

5n^3+n = 6[6].

Or 6= 0[6] " 6 congru à 0 modulo 6".

Donc 5n^3+n=0[6].

Corrigé moi si je me trompe et merci d'avance

bridgslam

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Re : Théorème de Fermat

Bonsoir,

5 étant congru à -1 modulo 6, ton expression est congrue à -(n-1)n(n+1) modulo 6.

Que peux-tu conclure aussitôt ?

Une autre façon de faire , si on est plus savant avec Fermat:
Que dire de $n^3 - n$ (3 étant premier) , que-dire aussi de sa parité ?

Autres exemples pour vérifier vôtre compréhension:

Par quoi est-toujours divisible $9n^5 + n$?   $13n^7 + n$ ? etc, de Fermat (le petit théorème de...) donne des réponses directes.
C'est plus laborieux de passer par un tableau.

Alain

Dernière modification par bridgslam (02-03-2022 08:36:41)

Junior ste

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Re : Théorème de Fermat

Salut.
Par récurrence
Je vais juste faire héridité.
Supposons que pour tout n 6 divise 5n^3 + n et montrons que 5(n+1)^3+n+1  est divisible par 6
On a 5(n+1)^3+n+1=(5n^3+n)+(15n^2+15n+6)
Ainsi il suffit juste de montrer que 15n^2+15n+6 est divisible par 6 ie divisible par 3 et par 2
     #montrons que 15n^2+15n+6 est divisible par 3
On a 15n^2+15n+6=3(5n^2+5n+2)
Donc 15n^2+15n+6 est divisible par 3
    # montrons que 15n^2+15n+6 est divisible par 2
15n^2+15n+6 =15n(n+1)+6
Remarquons que pour tout n, n est soit congru à 1 modulo 2 soit à 0 modulo 2
*Si n est congru à 0 modulo 2
Alors 15n(n+1) sera aussi congru à 0 mod2 ainsi 15n(n+1)+6 sera aussi congru à 0 mod2(par transitivité)
*Si n est plutôt congru à 1 mod2 alors n+1 sera congru à 0 mod2( par transitivité). Ainsi 15n(n+1)+6 sera congru à 0 mod2 ( toujours par transitivité).
D'où le résultat......

Vieuxmatheux

Invité

Re : Théorème de Fermat

Il y a, à mon humble avis, un argument plus simple.
Raisonnons mod. 6 : 5n^3+n=5n^3+6n-5n=5n^3-5n (mod. 6). Donc, 5n^3+n=5n(n-1)(n+1) (mod. 6)
Quel que soit n, l'un des entiers n-1, n, n+1 est divisible par 3 et l'un au moins est pair. 2 et 3 divisent donc 5n(n-1)(n+1). Comme ils sont premiers entre eux, 6 divise 5n(n-1)(n+1) et donc 5n^3+n.

bridgslam

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Re : Théorème de Fermat

Bonjour,

5 étant congru à -1 [6] ( voir mon post ) on tombe au signe près directement sur le produit de 3 entiers consécutifs , congru à 0 [6], rien de nouveau sous le soleil donc.

Il n'en reste pas moins qu'avec le théorème de Fermat, le résultat est automatique, et plus en osmose avec le titre du sujet.... et aussi plus général (voir les autres exemples du même post).

A.