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Unpscinul en maths

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Polynômes interpolateurs de lagrange

Bonjour je suis un élève en PCSI et je bloque à mon DM sur les polynômes interpolateurs de Lagrange:

on me demande la question suivante:
Si un polynôme P ∈ K[X] est tel que deg P <= n et vérifie P(a_i)=1
et P(a_j)=0 alors P=L_i

Je ne comprends pas comment 2 polynômes peuvent être égaux si leur degré n'est pas le même
mon professeur a indiqué qu'il fallait montrer que si un polynôme de degré n a n+1 racines alors celui ci est nul.
Merci d'avance pour votre aide.

Michel Coste

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Re : Polynômes interpolateurs de lagrange

Bonjour,

Tu aurais du nous dire que [tex]a_0,\ldots,a_n[/tex] sont des éléments distincts de [tex]K[/tex]   et préciser que [tex]P(a_j)=0[/tex] pour tout [tex]j\neq i[/tex] entre 0 et n.

Je ne comprends pas comment 2 polynômes peuvent être égaux si leur degré n'est pas le même

Où as-tu vu que [tex]P[/tex] et [tex]L_i[/tex] ne sont pas de même degré ?
Ensuite, que penses tu de [tex]P-L_i[/tex] ? Que peux-tu dire de son degré ? De ses racines ?

Unpscinul en maths

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Re : Polynômes interpolateurs de lagrange

Rebonjour et merci pour votre réponse, pour ce qui du degré du polynôme je trouve un degré égal à n et je trouve n+1 racines mais je ne suis pas sur mais cela semble cohérent avec ce que mon professeur disait.
Cordialement.

Michel Coste

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Re : Polynômes interpolateurs de lagrange

je trouve un degré égal à n

Inférieur ou égal à [tex]n[/tex], plutôt. (D'ailleurs, comme cette différence est nulle, son degré est [tex]-\infty[/tex]).