Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ramirez

Invité

Norme

Bonjour,
Je voudrais avoir une piste pour pouvoir démontrer que 
||u*||^2=||u||^2 = ||u*ou|| avec u un endomorphisme de E qui est de dimension finie et u* son adjoint
Merci d’avance

Fred

Administrateur

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Re : Norme

Bonjour,

  Une idée : commencer par prouver que $\|u\|=\sup\{\langle u(x),y\rangle:\ \|x\|=\|y\|=1\}$.

F.

Ramirez

Invité

Re : Norme

Malgré cette aide je n’arrive toujours pas à conclure pouvez vous m’aidez encore ?

Fred

Administrateur

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Re : Norme

Avec l'indication que je t'ai donné et la définition de l'adjoint, c'est presque immédiat que $\|u\|=\|u^*\|$ non?????
Comment peux-tu écrire autrement $\langle u(x),y\rangle$?????
Comment peux-tu aussi exprimer $\|u^*\|$ de la même façon que celle que je t'ai indiqué pour $\|u\|$????

Pour l'autre égalité, commence par écrire
$\|u(x)\|^2=\langle u(x),u(x)\rangle,$, utilise la définition de l'adjoint, puis l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour faire apparaître $\|u^*\circ u\|$.

F.