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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 13-02-2022 14:48:33
- majuju
- Membre
- Inscription : 13-02-2022
- Messages : 2
si a^n divise b^n alors a divise b
bonjour à tous,
Je cale sur un problème d'aritmétique
si a^n divise b^n alors a^b
j'ai décomposé a et b suivant une décomposition en nombre premiers
a=p1^k1*p2^k2....pn^kn
b=p1^q1*p2^q2....pn^qn
avec ki ou qi pouvant être nul
donc a^n=p1^nk1...pn^nkn
et b^n=p1^nq1*.....pn^nqn
si a^n divise b^n alors
p1^nk1 divise p1^nq1 avec q1 >=k1
donc (p1^k1)^n divise (p^q1)^n
donc p1^k1 divise p^q1
donc a divise b
mon raisonnement est il erroné?
merci beaucoup de votre aide
cde
majuju
Hors ligne
#2 13-02-2022 21:51:53
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : si a^n divise b^n alors a divise b
Bonjour,
Je n'ai pas bien compris cette ligne, plus précisément "avec q1>=k1".
p1^nk1 divise p1^nq1 avec q1 >=k1
Je dirai tout simplement que $p_1^{nk_1}|p_1^{nq_1}$ entraîne que $nk_1\leq nq_1$, et donc que $k_1\leq q_1$.
Et comme on a aussi $k_2\leq q_2$,..., on a bien $a|b$.
Deux conseils de rédaction :
* dans ta décomposition en facteurs premiers de $a$ et $b$, tu ne peux plus utiliser la lettre $n$ qui est déjà utilisée dans l'énoncé de l'exercice. Tu peux utiliser $r$ par exemple à la place de $n$.
* le passage de $a^n|b^n$ à $p_1^{k_1n}|p_1^{q_1n}$ mérite un argument.
F.
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