Forum de mathématiques - Bibm@th.net

maths48

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Exercice : ensemble fermé et suite

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LBomHswfezA

Voici ce que j'ai fait :

a : https://www.cjoint.com/c/LBomId5d0qA

b : B est fermé.
J'aimerais procéder par l'absurde.
Je prends (x_n, y_n) suite convergente de R² telle que (x_n, y_n) appartienne à B, pour tout n.
Je suppose que lim (n -> +infini) (x_n, y_n) n'appartient pas à B.
Et là, je bloque, je ne vois pas quoi en faire...

c : g est continue en tant que somme de composées de fonctions continues.
B = {(x,y) | g(x,y) =< 0}
= g-1(]-infini, 0])
g est continue et ]-infini, 0] est un fermé donc B est fermé.

d : C'est un point qui appartient au bord de B. Ainsi, si je suis mon schéma, le point (0,0) appartient à B mais pas à l'intérieur de B.

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer sur la b ?

Merci d'avance,
Bonne journée

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

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Re : Exercice : ensemble fermé et suite

Bonjour,

a/ c/ ok. N'hésites pas à re-mentionner quel théorème tu utilises (c/)
b/ si ta suite de points converge vers un point (X,Y) (autant lui donner son expression, la limite est unique, on la nomme ) du plan réel,  que peux-tu dire séparément des suites abscisses et ordonnées issues de ta suite de points ( leurs projections ... qui forment donc deux suites réelles ) ?
Quelle relation en déduire entre X et Y ? Pourquoi ?

d/ ça revient à cela , (0,0) est un point-frontière qui est dans la partie B. Aucun disque ouvert de centre (0,0) ne peut  pas être contenu dedans, puisqu'il rencontre le complémentaire non vide.
B est fermé mais pas ouvert ( sinon sa frontière est vide d'ailleurs car dans ce cas, intérieur, adhérence et partie se confondraient)

En regardant tes autres posts, tu sembles avoir besoin d'une méthode pédagogique pour avancer dans tes exos.

https://lapasserelle.com/cours-en-ligne … index.html

En connaissant ton cours ( autant que faire se peut  ) essaie de faire des ponts avec ce qui est demander, par exemple:

- ai-je bien compris la question? Que dois-je montrer, clairement ?
- si je fais un diagramme (lequel ?) , quel candidat  se rapproche étroitement du sujet
- souligne les mots importants (ici par exemple $\mathbb{R}^2$, limite, fermé ... )
- même sans formalisme représente la situation avec des mots de tous le jours ( quand ... se rapproche de ... etc )

Ces démarches favorisent l'intuition, et il ne faut pas te décourager aux premières difficultés.

["qu'en pensez-vous" , si tu postes c'est que tu nous poses déjà implicitement cette question, tu pourrais faire économiser quelques octets au data center ... :-)]

A.

Dernière modification par bridgslam (14-02-2022 17:02:39)

bridgslam

Membre Expert

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Re : Exercice : ensemble fermé et suite

Bonjour,

Pour être un peu plus précis sur la question b/, tu dois exploiter 3 faits:

- les coordonnées constituent des suites possédant chacune une bonne propriété
- la fonction sin est continue, à exploiter en terme de suite
- enfin si une suite en majore une autre, que dire de leurs limites ( quand elles convergent).
Ces trois points te permettent de conclure proprement.

Bonne journée :-)

A.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice : ensemble fermé et suite

Bonjour,

@math48 :
il est clair qu'en écumant les forums, tu finis par tomber sur des naïfs ou de peu scrupuleuses personnes qui te permettront de recoller les morceaux, voire à fournir aux uns les infos glanées auprès des autres en les faisant passer pour tiennes...
Tu as déjà été prévenu sur Île Maths et sur combien d'autres encore ?...

Ce procédé qui consiste à vouloir le beurre, l'argent du beurre et la crèmerie avec (voire parfois la crémière) est éminemment déplaisant : personnellement, le "crossposting" ça m'insupporte terriblement...
En pareil cas, je conseille toujours de choisir son forum et d'y rester au moins le temps de traiter son sujet...

Je te demande de cesser ce petit manège, faute de quoi - comme tu es multi-récidiviste -à partir de maintenant je fermerai systématiquement la prochaine discussion où tu recommenceras...

  - Yoshi -
Modérateur