Octaèdre ... s ?

Bernard-maths · 25-12-2021 22:22:27

Bonsoir à Wiwaxia, Zebulor, Yoshi et tous les autres ... !

Voilà bientôt un an que je me défoule sur Bibmath.net, avec beaucoup de plaisir ... surtout en géométrie, avec des équations cartésiennes implicites, pour la plupart du temps. Alors pour ce "un an", je vous propose une de mes dernières trouvailles, une équation qui devrait plaire à Wiwaxia ... même si ça tourne autour des octaèdres :-)

((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) (abs((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) - 4) (abs(abs((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) - 4) - 2) = 0

Equation produit de 3 facteurs ...

Pour la suite, j'ai sa petite soeur en un peu plus "compliqué" ... donc ne désespérez point, il y aura une suite !

A part ça, j'espère que vous avez passé de bonnes fêtes de Noël, et que vous êtes prêts pour le Nouvel An, avec tous mes voeux !

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-12-2021 22:31:03)

Bernard-maths · 31-12-2021 10:27:57

Bonjour à tous !

N'oubliez pas mon cadeau de "un an" !!!

Pour vous donner quelques pistes ... étudiez la formule verte seule, c'est connu ! Puis la rouge seule, légère complication de la verte ...

Puis la bleue seule, complication de la rouge ... Enfin les 3 ensemble !

Si vous ne voyez pas bien ce que ça donne, vous pouvez vous ramener dans le plan : vous supprimez les abs(z), tout simplement ! Et ça marche bien avec GeoGebra en 2D !!!

Allez, courage !

Bonne Année 2022 !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (31-12-2021 13:02:40)

Wiwaxia · 01-01-2022 13:04:46

Bonjour Bernard-maths,

J'ai regardé ce que donnait la recherche du signe de chacun des 3 facteurs du produit P = (Eq_1*Eq_2*Eq_3):

Eq_1 = ((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) ,
Eq_2 = (abs((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) - 4) ,
Eq_3 = (abs(abs((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) - 4) - 2) = 0 ;

dans le plan (xOy) de cote nulle, et à échelle fixe:

On obtient apparemment une suite d'octaèdres concentriques et coaxiaux.

Résultat probablement analogue pour le produit P (x, y, z), compte tenu du décalage apparent des diverses limites.

Et malgré les circonstances, bonne année et bon courage à toi et tous les autres !

Dernière modification par Wiwaxia (01-01-2022 15:25:52)

Zebulor · 01-01-2022 13:24:01

Bonjour Bernard-maths,
Bonne santé et Bonne année à tous !

Dernière modification par Zebulor (01-01-2022 13:41:41)

Wiwaxia · 01-01-2022 16:16:41

L'insertion mutuelle des frontières de changement de signe est confirmée par l'aspect du diagramme correspondant au produit des 3 termes:

P(x, y, z) = Eq_1 * Eq_2 * Eq_3

dans le plan d'équation z = 0 :

LAbobh6aT7m_F-2-EqixEq2xEq3-Az=0-F=13.png

Bernard-maths · 01-01-2022 17:56:59

Bonne Année à tous !

Merci pour vos voeux ...

Pour Wiwaxia ça sent les gigognes, oui !!!

Mon logiciel Maple m'a planté le 21/12, et je ne l'ai réinstallé que ce matin ... et ça marche.

Donc j'enverrai bientôt des images de ce "gigognage" ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-01-2022 17:57:29)

Bernard-maths · 02-01-2022 17:11:11

Bonjour à tous !

Voici ce que donne l'équation proposée, réduite au plan :
((abs(x)) + (abs(y)) - 6)(abs((abs(x)) + (abs(y)) - 6) - 4)(abs(abs((abs(x)) + (abs(y)) - 6) - 4) - 2)=0

On reconnaît dans la 1ère l'équation d'un carré ! Dans la 2ème, le carré se dédouble. Et dans la 3ème les 2 carrés de la rouge se dédoublent à leur tour ! MAIS celui du milieu est la superposition de 2 des 4 dédoublés ... dur !

LAcpAaGiXx4_Carr%C3%A9s-emboit%C3%A9s-2D-2022-01-02.png

Si je modifie l'équation, en changeant les constantes, 4 carrés bleus sont alors visibles :

((abs(x)) + (abs(y)) - 6)(abs((abs(x)) + (abs(y)) - 6) - 3)(abs(abs((abs(x)) + (abs(y)) - 6) - 3) - 1.5)=0

LAcpGhmYgC4_Carr%C3%A9s-emboit%C3%A9s-2D-bis-2022-01-02.png

Voilà donc de quoi éfléchir pour la 1ère formule en 3D !

A bientôt donc, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-01-2022 17:36:53)

Wiwaxia · 04-01-2022 18:34:55

Bonjour,

La somme s = Abs(x) + Abs(y) + Abs(z) caractérise les faces d'un octaèdre passant par les sommets de coordonnées:

(± s, 0, 0) , (0, ± s, 0) et (0, 0,± s) ;

on comprend donc mieux ce qui se passe lorsque l'on trace les graphes des variations des fonctions

F1(s) = s - 6 ; F2(s) = Abs(s- 6) - 4 ; F3(s) = Abs(Abs(s - 6) - 4) - 2 .

LAequVks7qm_Grille+Rep%C3%A8re-Graphe.png

PS: La mention du terme (y') au coin inférieur gauche m'a échappé ...

Dernière modification par Wiwaxia (04-01-2022 18:44:37)

Bernard-maths · 04-01-2022 19:06:22

Bonsoir à tous !

Wiwaxia, si je prend la verte : (abs(x)) + (abs(y)) = 6 ; puis la rouge : (abs(x)) + (abs(y) = 6 +3 ou -3. Si le carré vert a ses sommet en 6, le rouge a ses sommets en 6+3 = 9, ou 6-3 = 3 ...

Pour le bleu : abs(x)) + (abs(y) = 6 + 3 + 1.5 ou -1.5, donc abs(x)) + (abs(y) = 10.5 ou 7.5 ! Sommets en 10.5 ou 7.5 ...

ou bien : abs(x)) + (abs(y) = 6 - 3 + 1.5 ou -1.5, donc abs(x)) + (abs(y) = 4.5 ou 1.5 ! Sommets en 4.5 ou 1.5.

On peut continuer ainsi indéfiniment ! En divisant par 2 la constante qu'on rajoute à chaque fois. Ce qui devrait mener à 2^n - 1 carrés en n étapes ... Pour n = 3 ici, on 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 carrés en tout.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2022 19:11:31)

Bernard-maths · 13-02-2022 16:14:23

Bonjour à tous !

J'ai mis du temps, mais j'ai eu beaucoup "de mal" à trouver une figure à peu près visible, montrant les octaèdres emboités !!!

Cette figure est amputée sur les sommets, pour laisser voir à l'intérieur. Mais les couleurs ne sont pas maitrisées ...

LBnojSQCfyH_Octa-emboit%C3%A9s-2022-02-13.jpg

Bernard-maths

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Octaèdre ... s ?

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