exercice : groupes

maths48 · 05-02-2022 10:54:34

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LBfj12ZZN2A

1. G non vide car 1 = 1 +0*sqrt(2) appartient à G. Je ne vois pas comment dire que G est inclus dans R (>0) ?

2. (G, x) sg de (R(>0),x) car 1 appartient à G, pour x,y appartenant à G, xy = (a+b*sqrt(2))(c+d*sqrt(2)) = (2bd+ac) + (ad+bc)sqrt(2) appartient à G, pour tout x appartenant à G, x-1 appartient à G car 1/x = 1/ a+b*sqrt(2) = a-b*sqrt(2)/a²-2b² = a/a²-2b² + (-b/a²-2b²)*sqrt(2) = a-b*sqrt(2) appartient à G.

3. J'ai pensé par calculer le sg engendré par alpha et montrer qu'il est d'ordre infini et que donc G est infini mais je ne vois pas comment procéder...

6. (G,x) est isomorphe à (Z,+) si il existe un isomorphisme entre (G,x) et (Z,+). Soit phi morphisme de groupes : Z --> G qui à x associe a+b*sqrt(2). Montrons que phi est bijective.
Injective : Ker(phi) = {1} par définition de phi
Surjective : pour tout y de G, y = phi(x) doit avoir au moins une solution en x.
y = a+b*sqrt(2)
et là je bloque....

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

maths48 · 05-02-2022 12:25:08

Pour la 3 : Comme pour tout a appartenant à N, pour tout b appartenant à Z alpha est différent de 1, k étant un entier >= 1, on a ordre(k) = +infini
En effet son sg engendré est : <alpha> = {3+2sqrt(2), 17+2sqrt(2),...}k
Ainsi G est infini.

Pour la 4 : Soit x = a + b*sqrt(2) un élément de G. Comme a²-2b² = 1, x ne peut être qu'un réel positif donc x est un élément de R(>0). Ainsi G inclus dans R(>0).

Est-ce correct ?

bridgslam · 06-02-2022 09:28:15

Bonjour,

petite disjonction des cas:

Si tu suppose d'abord b dans $\mathbb{N}$, c'est à dire positif, alors b est nécessairement non nul si a est nul, ,d'où la propriété dans tous les cas (a nul ou pas nul ).
Ensuite si b est négatif , tu peux te ramener à la propriété précédente en considérant le produit ( égal à 1 ) de $a +b \sqrt{2}$ par $a-b\sqrt(2)$.
Comme cela vaut 1, c'est gagné aussi !

A.

Dernière modification par bridgslam (06-02-2022 09:29:12)

bridgslam · 06-02-2022 09:53:11

Bonjour,

Pour la 3 ton explication manque de clarté et semble incohérente. Attention, l'opération est la multiplication et ton k, en facteur de l'accolade est incongru.
Il suffit de montrer que l'ensemble des $\alpha^n $ est infini, ce qui n'est pas sorcier,et permet de conclure en ayant au préalable précisé quand deux éléments de G sont égaux ou pas.
Par exemple en posant $\alpha^n = a_n + b_n \sqrt{2} $, si tu montres qu'il y a une infinité de $a_n $(compte-tenu de la précision préalable) c'est bâché.

A.

Dernière modification par bridgslam (06-02-2022 09:56:18)

maths48 · 06-02-2022 18:34:49

Bonsoir, merci de votre réponse bridgslam !
J'ai bien rédigé les questions 1 et 3 en suivant vos conseils.

Pour la suite de l'exercice...
Pour la 4 : voici ce que j'ai fait :
https://www.cjoint.com/c/LBgrFWVDl6A
Je bloque sur l'inégalité sur b... Qu'en pensez-vous ?

Pour l'inégalité c, je veux montrer que 1=< a+b*sqrt(2)=<1 et donc j'aurai a+b*sqrt(2) = 1 voici ce que j'ai fait :
https://www.cjoint.com/c/LBgrHuiSoyA

je suis bloqué sur le coté droit de l'inégalité...

Pour la 5 : Montrons qu'il existe k appartenant à Z tel que a+b*sqrt(2) = (3+2sqrt(2))k.
On pose k = la partie entière de (ln(a+b*sqrt(2)) / (ln((3+2sqrt(2)))
k = ln(1) / ln((3+2sqrt(2))
<=> k = 0
donc (3+2sqrt(2))k = (3+2sqrt(2))0 = 1 = a+b*sqrt(2)
On a donc bien montré qu'il existe k appartenant à Z tel que a+b*sqrt(2) = (3+2sqrt(2))k.

Pour la 6 : j'en suis toujours au même point que lors de mon message #1......

Si vous voulez bien m'aider..
Bonne soirée

bridgslam · 07-02-2022 07:46:33

Bonjour,

j'avais oublié de préciser que la valeur a = 0 est aussi impossible, vue la relation, comme $a^2 = 1 + 2b^2$, a entier positif vaut donc au moins , dans tous les cas.
Ca ne change pas grand-chose pour le début de l'exo.

A.

bridgslam · 07-02-2022 08:04:05

Bonjour,

Pour la 4-a il y a nettement plus simple , pas de calculs, le produit vaut 1 (toujours pareil) donc si l'un est strictement supérieur à 1, l'autre strictement inférieur.

Sinon pour les questions suivantes c'est grosso modo du calcul mais on peut faire très rapide:
G est un sous-groupe de $( \mathbb{R} ^{*+}, $ x) en fait isomorphe à $(\mathbb{R},+) $ ( par la fonction log).
En fait tout sous-groupe additif non trivial de $ ( \mathbb{R},+) $ est soit dense ( par exemple comme $\mathbb{Q}$ ), soit isomorphe à $( \mathbb{Z} ,+) $.
Si on connaît ce résultat important c'est immédiat d'en déduire la suite de l'exercice.

A.

maths48 · 07-02-2022 15:39:56

Merci de votre réponse. Ca veut dire quoi dense ? Je ne l'ai pas encore vu...

bridgslam · 07-02-2022 16:36:08

pour la 4, tu peux avec profit considérer z+z' et z-z', compte-tenu des inégalités obtenus et du caractère entier de a et b cela donne les résultats. Cela permet d'isoler a et b.

Dense(*) signifie qu'entre deux éléments distincts de ce groupe il y a au moins un élément du groupe compris entre eux.
D'après cette question 4, on n'est pas dans ce cas-là... il n'y a strictement rien entre 1 et $\alpha$

(*) au sens des groupes ordonnés,ici l'ordre sur (G,x) est celui induit par l'ordre défini sur le groupe $(\mathbb{R}^{+*}, $ x)
En fait dès qu'un groupe est ordonné, on a pas mal de notions intéressantes éventuelles : archimédien, divisible, dense, parfait, complet...

A.

bridgslam · 07-02-2022 16:56:05

Dans cet exercice, on arrive au résultat "à la main" de façon plus fastidieuse, par un calcul de générateur et les propriétés claires et guidées à démontrer.
On montre qu'entre les éléments de H = $< \alpha>$ il n'y a rien "à la paluche" donc H = G.

C'est bénéfique quand-même en général (pour la réflexion ) de se déme...der sur des questions sans utiliser d'outils plus forts (et plus immédiats).
Ici ça a le mérite aussi d'exhiber l'unique (à inversion près ) générateur.

A.

bridgslam · 09-02-2022 07:19:19

Bonjour,

Pour récapituler, je donne les points saillants de l'exo, à ne pas omettre/négliger sinon le reste ne vaut rien

1/ a et b caractérisent $a + b\sqrt{2}$ (peut-être le plus fondamental, sous-jacent à tout le reste )
2/ ne pas oublier de montrer que si $a + b\sqrt{2}$ et $a' + b'\sqrt{2}$ sont dans G, alors aa' + 2bb' est positif ( s'aider avec les inégalités de valeurs absolues compte-tenu des relations imposées )

Le reste est calculatoire ( si on suit stricto sensu la démarche proposée, pour la partie arithmétique on peut aller très vite avec les critères de parité , 1 étant impair et 2b pair).

G étant engendré $\alpha$ , on a un isomorphisme avec $(\mathbb{Z} , +)$ en posant $\alpha^k \rightarrow k$.

Comme je te l'avais mentionné, le "trou" entre 1 et $\alpha$, avec la structure de groupe de G qui est à isomorphisme près un sous-groupe de $(\mathbb{R} , + )$ (on le voit avec la fonction logarithme ), suffit à montrer le résultat final.
La démarche proposée a le mérite de fournir directement les (seuls) générateurs $( \alpha \;et\; \alpha^{-1} )$ de (G,x)

A.

bridgslam · 09-02-2022 16:01:20

Bonjour,

Je regarde en diagonale ce que tu avais tenté:

maths48 a écrit :

xy = (a+b*sqrt(2))(c+d*sqrt(2)) = (2bd+ac) + (ad+bc)sqrt(2) appartient à G, [...]

Ici, tu n'as pas dis pourquoi 2bd+ac est dans $\mathbb{N}$ ... donc tu ne prouves pas que la loi est interne, ni que c'est la seule écriture possible.

Sinon essaie stp d'utiliser Latex, ce sera plus lisible...

A.

maths48 · 10-02-2022 22:13:22

Bonsoir,
Merci pour toutes ces réponses et désolé de répondre aussi tardivement.

Je vais essayer de reprendre la question 2 alors.

Pour la 4.b. J'ai suivi vos conseils et j'ai trouvé, merci

Pour la 4.c. J'ai toujours le même problème je trouve bien le 1 à gauche de z mais impossible de trouver 1 à droite et de dire 1 =<z =<1 donc z = 1...

Pour la 6 : on a phi : Z → G
α^k → k
(Est-ce le même α que celui de l'exercice...? J'en n'ai pas l'impression..?)

Pour montrer que c'est un isomorphisme il faut montrer que c'est une application linéaire bijective.
J'ai montré qu'elle est linéaire.

Pour montrer qu'elle est injective j'aimerais montrer que ker(phi) = {0} mais je ne sais pas comment procéder j'ai toujours calculé les noyaux à l'aide des matrices des applications...

Pour montrer qu'elle est surjective : pour tout y de G, y = phi(x^k)
<=> y = k
Donc elle admet toujours au moins une solution x^k dans Z.

Merci d'avance si vous me lisez encore,
Bonne soirée

PS : Je ne sais pas utiliser Latex auriez-vous des conseils pour apprendre ?

yoshi · 11-02-2022 08:41:15

Bonjour,

PS : Je ne sais pas utiliser Latex auriez-vous des conseils pour apprendre ?

Une mise à l'étrier non exhaustive :
Code LaTeX

@+

maths48 · 11-02-2022 10:24:52

Merci yoshi c'est très complet déjà !

bridgslam · 11-02-2022 16:21:29

maths48 a écrit :

Pour la 4.c. J'ai toujours le même problème je trouve bien le 1 à gauche de z mais impossible de trouver 1 à droite et de dire 1 =<z =<1 donc z = 1...
[...]

Si tu essaies de montrer cela, c'est que z n'existe pas... et donc impossible à prouver.
a et b sont des entiers, il n'y a pas 1000 possibilités avec les possibilités d'intervalles trouvés pour a et b.
Tu remarqueras que seul a= 1 et b = 0 peuvent convenir pour vérifier $a^2 -2b^2 = 1$ et l'hypothèse sur z, donc z = 1.
Déjà $a^2 doit être impair etc

Bon courage
A.

maths48 · 12-02-2022 11:05:26

4 : Heureusement que vous me l'avez dit, j'aurais pu chercher encore longtemps...

6 : J'ai abandonné l'idée de montrer qu'elle est injective et surjective pour montrer qu'elle est bijective vu que je n'arrive pas à calculer le noyau.
Je veux maintenant montrer que pour tout y de G, il existe un unique x dans Z tel que phi(x^k) = y
<=> k = y

Mais est-ce suffisant pour montrer que ce y est unique...?

Merci d'avance de me lire encore,
Bonne journée

bridgslam · 12-02-2022 11:39:03

Bonjour,

Le groupe G (infini, déjà vu) est d'après la dernière question engendré par un élément ( ça marche avec $\alpha$ d'après ce qui précède)
Tu peux montrer qu'alors ( c'est général ) il est isomorphe à $(\mathbb{Z} , + )$:

k -> $\alpha^k$ est bien définie, surjective (pourquoi ?) et injective ( l'infinitude de G a un rôle à jouer).
De plus c'est un morphisme...

$\alpha$ et son symétrique jouent au niveau du groupe le même "rôle " que 1 et -1 dans $\mathbb{Z} $

Bon courage
A.

Dernière modification par bridgslam (12-02-2022 11:40:13)

maths48 · 12-02-2022 16:07:40

Voici ce que j'ai fait pour montrer qu'elle est bijective : https://www.cjoint.com/c/LBmpgJeSnPA

Qu'en pensez-vous ?

bridgslam · 12-02-2022 16:27:05

Bonjour,

cela me paraît bon.
Par-contre pour la 5 je ne comprends pas ce que tu as fait (pourquoi ln (1) ?)
Ecris la définition de la partie entière, tu obtiens une inégalité, tu divises par quelque chose qui te ramène à la question 4... et tu remontes

bonne soirée

A.

maths48 · 12-02-2022 17:30:02

C'est parce que je me suis mélangé les pinceaux avec la question 4 où on finit par montrer que z = 1 et du coup j'ai remplacé mais c'est d'un autre z dont il est question ici...

Voici ce que j'ai fait mais là j'avoue que je sèche : https://www.cjoint.com/c/LBmqxxemOuA

bridgslam · 12-02-2022 18:26:12

Bonsoir,

$ k \le ln(z)/ln(\alpha) \lt k+1$ .

peux-tu multiplier le tout par $ln(\alpha)$ sans changer les inégalités, pourquoi?
Utilises ensuite la propriété fondamentale de ln, qui est aussi str. croissante.

Tu dois en déduire deux inégalités, puis par division arriver à $ 1 \le z/\alpha^k \lt \alpha $...

Qu'a de particulier le nombre réel central dans les inégalités?
Il reste à utiliser la question précédente et c'est gagné !

A.

Dernière modification par bridgslam (12-02-2022 18:26:54)

maths48 · 12-02-2022 21:38:16

Voici ce que j'ai fait : https://www.cjoint.com/c/LBmuKCPVQYA

Je ne comprends pas comment faire le passage où j'ai mis la flèche bleue...

Merci encore de votre aide bridgslam,
Bonne soirée

bridgslam · 13-02-2022 08:35:38

Bonjour,

A partir de tes inégalités en log, reviens directement à ce qui est intéressant, en prenant l'exponentielle, strict. Croissante comme la fonction logarithme... Les inégalités se conservent.

A.

maths48 · 13-02-2022 11:55:37

Bonjour,

Voici ce que j'ai fait en suivant vos conseils : https://www.cjoint.com/c/LBnk2PJIZnA

Qu'en pensez-vous ?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 05-02-2022 10:54:34

exercice : groupes

#2 05-02-2022 12:25:08

Re : exercice : groupes

#3 06-02-2022 09:28:15

Re : exercice : groupes

#4 06-02-2022 09:53:11

Re : exercice : groupes

#5 06-02-2022 18:34:49

Re : exercice : groupes

#6 07-02-2022 07:46:33

Re : exercice : groupes

#7 07-02-2022 08:04:05

Re : exercice : groupes

#8 07-02-2022 15:39:56

Re : exercice : groupes

#9 07-02-2022 16:36:08

Re : exercice : groupes

#10 07-02-2022 16:56:05

Re : exercice : groupes

#11 09-02-2022 07:19:19

Re : exercice : groupes

#12 09-02-2022 16:01:20

Re : exercice : groupes

#13 10-02-2022 22:13:22

Re : exercice : groupes

#14 11-02-2022 08:41:15

Re : exercice : groupes

#15 11-02-2022 10:24:52

Re : exercice : groupes

#16 11-02-2022 16:21:29

Re : exercice : groupes

#17 12-02-2022 11:05:26

Re : exercice : groupes

#18 12-02-2022 11:39:03

Re : exercice : groupes

#19 12-02-2022 16:07:40

Re : exercice : groupes

#20 12-02-2022 16:27:05

Re : exercice : groupes

#21 12-02-2022 17:30:02

Re : exercice : groupes

#22 12-02-2022 18:26:12

Re : exercice : groupes

#23 12-02-2022 21:38:16

Re : exercice : groupes

#24 13-02-2022 08:35:38

Re : exercice : groupes

#25 13-02-2022 11:55:37

Re : exercice : groupes

Réponse rapide

Pied de page des forums