Exercice : fonction de plusieurs variables, boule et ensembles

maths48 · 11-02-2022 11:41:40

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LBlkyiMEADA

a) Pourriez-vous m'expliquer comment on peut tracer ça ? J'en n'ai jamais fait encore et il n'y a rien dans mon cours à ce sujet ?

b) Par définition A est un ouvert. Ce qui me bloque c'est la définition de la boule. Dans mon cours j'ai ceci : https://www.cjoint.com/c/LBlkK2UG6FA
Mais quelle est la définition si la boule est centré en (x,y) et pas seulement en x ??

c) F est continue en tant que somme de composées de fonctions sontinues.
A = {(x,y) | f(x,y) > 0}
= f^-1(]0, +infini[)
f est continue et ]0, +infini[ est un ouvert donc A est ouvert.

d) J'ai pensé à donner un point limite de A c'est à dire trouver une suite de A qui converge vers ce point. Le problème c'est que je n'arrive pas à me représenter A donc trouver une suite se révèle bien compliqué...

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée

bridgslam · 11-02-2022 14:25:21

Bonjour,

a/ En utilisant une identité remarquable , à quoi est équivalent $y^2 - x^2 > 0$ ?
Tu devrais en déduire deux possibilités, la partie A est donc la réunion de deux parties de $\mathbb{R}^2$ simples à trouver.

b/ Tu peux t'aider de la représentation : l'idée est qu'un point de A ne touche pas les bords de A, donc tu peux insérer un disque D, au sens euclidien, dont (x,y) est le centre, et complètement dans A ( considère $(|y| - |x|) \sqrt{2}/2 $ qui est la distance de (x,y) au bord( ou aux bords))

C'était plus facile avec des boules en losange, complètement adaptées à la situation, correspondant à la norme |x| + |y| : pas besoin alors de coefficient rectificateur : ça ne changerait rien pour la suite, toutes les normes étant équivalentes, les ouverts sont identiques par rapport à l'une ou l'autre (euclidienne ou pas). Ce résultat est peut-être plus loin dans ton cours, c'est un bonus.

Par-contre dans ton cours le bilan de cette question a un nom: A est une partie telle que tout point de cette partie est centre d'au moins une boule ouverte contenue dans la partie.... donc...

c/ f est continue, et A est l'ensemble des points de $\mathbb{R}^2$ dont l'image est dans la partie B..... à préciser...
En terme d'image réciproque ($ f^{-1}(B) $) que dit ton cours si f est continue?

d/ la question est équivalente ici à trouver un point-frontière ( car A est ...) . Il y a vraiment le choix...dont 1 point vraiment banal.
Tu peux d'ailleurs regarder ce qu'est l'adhérence de A : en somme sans verbiage mathématique, tous les points qui "collent à A",
les points de A, plus ceux en dehors mais qu'on peut approcher autant qu'on veut par des points de A.
Ca devrait t'aider.

A.

.

Dernière modification par bridgslam (11-02-2022 14:31:23)

bridgslam · 11-02-2022 14:40:05

Sinon si tu scindes en deux parties ( celles du a/ ) ta partie A, il y a un unique point adhérent à chacune de ces parties.
Point remarquable donc que je te laisse chercher.

Par ailleurs ce genre de partie A (mais cette fois en dimension 4, 3 d'espace et 1 de temps, pas 2 comme ici ), relié à l'invariant relativiste, représente la causalité possible des évènements dans l'espace-temps: avant, après, ailleurs.

Sinon je commence mieux à comprendre ton désarroi pour la boule sous la forme B(x,r) ....
Le x représente ici un élément du plan réel, rien à voir avec une coordonnée quelconque, question de langage x = (u,v) par exemple.
Ce serait x = (u,v,w) si la question était dans $\mathbb{R}^3$ etc...

Pour le c/ ton raisonnement était correct.
A.

Dernière modification par bridgslam (11-02-2022 14:49:41)

maths48 · 11-02-2022 22:10:11

Merci de votre réponse.

Pour la a : Voici ce que j'ai dessiné avec la partie noire correspondant à (y+x) et la partie rouge correspondant à (y-x) : https://www.cjoint.com/c/LBluvsXVHsA
(Ne pas prendre en compte la partie sous l'axe des abscisses puisque ça doit être positif, j'ai un doute cependant : doit-on garder uniquement la partie dans le cadrant haut droit du graphe ?)

b : Pour y dans A, la déf de la boule ouverte qu'on veut est : [tex]\sqrt{y^{2}+x^{2}} \lt r[/tex]
donc on peut prendre r = [tex]y^{2}+x^{2}[/tex] ? Ou je n'ai pas compris...?

d : Si je suis mon schéma et que je garde uniquement le cadrant haut droit : le point (0,0) appartient à l'adhérence de A puisqu'il est sur le bord mais pas à A si j'ai bien compris ?

PS : très intéressant cette parenthèse physique... Vous êtes physicien ?

bridgslam · 12-02-2022 12:04:52

Bonjour,

Non, ce n'est pas cela. Reprenez la relation , factorisez... et ce que vous dites n'a pas de sens clair ( partie égale à x+y ? ça ne veut rien dire )

Quelle est par exemple la partie de $\mathbb{R}^2$ des (x,y) tels que y>x, c'est juste un exemple.

b/ cela n'a pas de de sens. On cherche un r >0 ( qui dépend sans doute de (x,y) pris dans A ), tel que D( (x,y), r ) soit inclus dans A...

Quand vous aurez visualisé A, ce sera sans doute plus parlant: un autre exemple qui n'a rien à voir avec ton exo.

Soit la partie P du plan réel située au-dessus strictement de l'axe des x , donc tous les (x,y) tels que y>0.

Si tu prends un point (a,b) dans P quelconque , peux-tu tracer à la main un disque autour de (a,b) entièrement contenu dans P ?

C'est le même genre de question ici, avec une autre partie que P, qu'il te faut trouver.

A.

maths48 · 12-02-2022 12:57:26

Déjà pour la a : y²-x² > 0 est équivalent à (y+x)(y-x) > 0
Donc il faut que je dessine une partie y - x > 0 ie. y > x et une partie y + x > 0 ie. y > - x si j'ai bien compris ?

Cela donne alors https://www.cjoint.com/c/LBml2lx7trA
et d'après ce que vous avez dit : "la partie A est donc la réunion de deux parties de R²"
J'en déduis que A est l'ensemble des parties coloriées ?

bridgslam · 15-02-2022 08:41:40

Bonjour,

Que signifie qu'un produit de deux réels est str. positif ?
Ou ils sont tous deux >0 ou tous deux <0 , je vous laisse reprendre la question, en dessinant chacune des possibilités.
On est sur de la logique.

A.

vam · 15-02-2022 16:59:13

Bonjour bridgslam
est ce encore bien utile ? ...regarde https://forums.futura-sciences.com/math … mbles.html
:(

yoshi · 15-02-2022 17:24:22

Bonjour,

Encore ???
Désolé bridgslam, je lui fait une promesse : sujet fermé !!!

Yoshi
- Modérateur -

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Exercice : fonction de plusieurs variables, boule et ensembles

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