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#1 10-02-2022 21:12:18
- maths48
- Membre
- Inscription : 15-04-2021
- Messages : 185
Preuve intérieur, frontière et adhérence
Bonsoir,
J'ai ceci dans mon cours : https://www.cjoint.com/c/LBkukEEGZGA
J'aimerais montrer que si (i) et (ii) sont fausses alors (iii) est vraie. Comment pourrais-je procéder ?
Merci d'avance,
Bonne soirée
------------------------------
Edit Fred :
(i) $x\in A$ et $B(x,r)\subset A$ pour un certain $r>0$;
(ii) $x\in A^c$ et $B(x,r)\subset A^c$ pour un certain $r>0$;
(iii) toute boule $B(x,r)$ intersecte à la fois $A$ et $A^c$.
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#2 10-02-2022 21:24:57
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Preuve intérieur, frontière et adhérence
Bonsoir,
Si (i) est faux, il y a deux possibilités :
* soit $x\notin A$. Dans ce cas, puisque $(ii)$ est faux, aucune boule $B(x,r)$ n'est contenue dans $A^c$, donc toute boule $B(x,r)$ intersecte $A$, et puisque $x\in A^c$, toute boule $B(x,r)$ intersecte aussi $A^c$.
* soit $x\in A$, et dans ce cas, aucune boule $B(x,r)$ n'est contenue dans $A$, donc toute boule $B(x,r)$ intersecte $A^c$, et aussi $A$ puisque $x\in A$.
F.
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#3 10-02-2022 21:25:22
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 802
Re : Preuve intérieur, frontière et adhérence
Bonsoir,
Il s'agit d'écrire proprement (avec des quantificateurs) les propositions. On se donne un point x.
(i) : $\exists r>0 ; B(x,r) \subset A$
(ii) : $\exists r>0 ; B(x,r) \subset A^c$
(iii) : $\forall r>0 ; B(x,r) \cap A \neq \emptyset \text{ et } B(x,r) \cap A^c \neq \emptyset$
Es-tu d'accord avec ce que j'écris ci-dessus ?
Peux-tu écrire la négation de (i) ?
Tu te rendras alors compte qu'il est vrai que [ non(i) et non(ii) ] implique (iii)...
Roro.
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