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opmillet

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Dernière modification par opmillet (09-02-2022 14:44:28)

Fred

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Re : a

Bonjour,

  Une telle fonction s'écrit $f=P+iQ$, avec $Q$ réel. Une condition nécessaire et suffisant pour que $f$ soit holomorphe, c'est
que $$\left\{\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}&=&\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}\\ \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}&=&\displaystyle \frac{-\partial P}{\partial y}\end{array}\right.$$

Il te reste donc à calculer les dérivées partielles de $P$, et de déterminer s'il existe une fonction $Q$ vérifiant ce système.

F.

Fred

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Re : a

J'imagine que tu sais dériver quand même la fonction, non??? (c'est du niveau lycée, non, la dérivée d'un quotient???). Que trouves-tu comme dérivées partielles????
Et je ne comprends pas ton histoire de "i encore dedans". $P$ et $Q$ sont deux fonctions de deux variables réelles, à valeurs dans $R$.

F.

Fred

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Re : a

Est-ce que tu n'aurais pas vu dans ton cours des résultats généraux ou bien sur les formes différentielles, ou bien sur les fonctions harmoniques (par exemple, qu'une fonction harmonique est toujours la partie réelle d'une fonction holomorphe sur certains ouverts)?

Fred

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Re : a

Le plus simple ici, c'est d'appliquer le théorème que je t'ai mentionné plus haut : Si $P$ est une fonction réelle définie sur un ouvert étoilé $U$ de $\mathbb R^2$, il existe une fonction holomorphe $f$ définie sur $U$ dont $P$ est la partie réelle. De plus, si $z_0\in U$ et $a\in \mathbb C$, il existe une seule fonction holomorphe telle que $f(z_0)=a$.

Si tu connais ce théorème, la seule chose que tu as à faire, c'est démontrer que $P$ est harmonique, ce qui ne devrait pas être trop dur car il suffit juste de calculer des dérivées. Dans le cas contraire, ou bien il faut vraiment intégrer -mais ça n'a pas l'air commode - , ou quelque chose m'échappe....

F.