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#1 06-02-2022 22:33:31
- maths48
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- Messages : 185
Exercice d'algèbre
Bonsoir,
J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LBgvF0DHvfA
Voici ce que j'ai fait et les questions que je me pose : (Pourriez-vous m'éclairer ?)
1. Rl - Rk = Rl-k*10k
2. Il faut donc montrer que pour tout n appartenant à N(>1), il existe (a,b) appartenant à [1, n+1]², a<b tel que n| Rb - Ra
Mais j'avoue ne pas avoir d'idée même avec l'indication...
3. On a vu que n|Rb - Ra
et Rb - Raest multiple de 2 ou de 5, Rb - Ra = 0 barre (0 modulo quelque chose)
Si n n'est ni un multiple de 2 ni un multiple de 5, n ne divise pas un entier e = 0 barre donc n ne divise pas Rb - Ra
Or on sait que tout Rk = 1 barre
Donc il existe un k =< n tel que n| Rk
Je dois avouer ne pas être très sûr de cette preuve...
4. si n² = 1 [2]
on pose n = 2k+1
n² = 4k² +4k +1 = 4k(k+1)+1
n² = 1 [4]
On veut montrer que pour k >= 2, il n'existe pas de n tel qu'on ait n² = Rk
Peut-on le montrer par une récurrence sur k...?
Merci d'avance,
Bonne soirée
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#2 07-02-2022 13:45:12
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Exercice d'algèbre
Bonsoir,
Un indice pour la question 2. Il y a $n+1$ entiers $R_l$, pour $l=1,\dots,n+1$, alors que $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ne contient que $n$ éléments. Il existe donc deux entiers $k<l$ tels que $R_l$ et $R_k$ ont la même classe modulo $n$. Que peux-tu dire alors de $R_l-R_k$???
F.
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#5 11-02-2022 10:45:50
- maths48
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- Messages : 185
Re : Exercice d'algèbre
Je reviens sur la deuxième partie de la 4 :
Je veux montrer que pour [tex]k\geq 2[/tex], [tex]R_k[/tex] n'est pas un carré d'entier.
Je procède par l'absurde.
Pour [tex]k\geq 2[/tex], on suppose qu'il existe un entier n tel que n² = [tex]R_k[/tex].
On a alors n = [tex]\sqrt{R_k}[/tex]
Or [tex]\sqrt{R_k}[/tex] n'est jamais entier.
Contradiction.
On a donc bien montré que si [tex]k\geq 2, R_k[/tex] n'est pas un carré d'entier.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance
Dernière modification par maths48 (11-02-2022 10:54:48)
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#6 13-02-2022 11:11:24
- maths48
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- Messages : 185
Re : Exercice d'algèbre
Pour la 5 je bloque complètement.
Pour la 6 : "<=" : On veut montrer que "si k est premier alors Rk est premier" est fausse.
Contre-exemple : k premier = 3 et Rk = 111 n'est pas premier.
On a bien montré que "si k est premier alors Rk est premier" est fausse.
Pour "=>" je me doute qu'il y a quelque chose à voir avec la question 5 mais je ne vois pas trop...
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance,
Bonne journée
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#7 15-02-2022 13:10:23
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 404
Re : Exercice d'algèbre
@math48 :
il est clair qu'en écumant les forums, tu finis par tomber sur des naïfs ou de peu scrupuleuses personnes qui te permettront de recoller les morceaux, voire à fournir aux uns les infos glanées auprès des autres en les faisant passer pour tiennes...
Tu as déjà été prévenu sur Île Maths et sur combien d'autres encore ?...
Ce procédé qui consiste à vouloir le beurre, l'argent du beurre et la crèmerie avec (voire parfois la crémière) est éminemment déplaisant : personnellement, le "crossposting" ça m'insupporte terriblement...
En pareil cas, je conseille toujours de choisir son forum et d'y rester au moins le temps de traiter son sujet...
Je te demande de cesser ce petit manège, faute de quoi à partir de maintenant je fermerai la prochaine discussion où tu recommenceras...
- Yoshi -
Modérateur
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