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Abirmdr

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Réccurence sur une un ensemble fini.

Bonjour , j'ai une petite question sur le raisonnement par récurrence, est ce qu'on peut l'utiliser sur un ensemble fin?i, par exemple s'ils nous demandent de montrer quelques chose pour tout r appartenant à [|1,n|], est ce qu'on peut appliquer une réccurence sur r?

Abirmdr

Invité

Re : Réccurence sur une un ensemble fini.

Bonjour , j'ai une petite question qui concerne le raisonnement par récurrence, est ce qu'on peut l'utiliser sur un ensemble fini, par exemple s'ils nous demandent de montrer quelques chose pour tout r appartenant à [|1,n|], est ce qu'on peut appliquer une réccurence sur r?

Fred

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Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Réccurence sur une un ensemble fini.

Oui!

Abirmdr

Invité

Re : Réccurence sur une un ensemble fini.

Pouvez vous fred me donner plus d'explications pourquoi oui ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

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Messages : 1 913

Re : Réccurence sur une un ensemble fini.

Bonjour,

Il n'est pas défendu d'y réfléchir directement par toi-même parce-que c'est quasi évident, et si tu as compris le principe de récurrence, c'est normalement  à  ta portée.

La récurrence consistant essentiellement qu' à pouvoir induire une propriété sur un objet lorsque la même propriété est vraie pour tous les précédents, cela implique la propriété sur tous les objets voulus.
C'est la récurrence habituelle quand on considère les entiers, l'induction transfinie quand on est sur les ordinaux
La récurrence forte parfois utilisée dans $\mathbb{N}$ pour parvenir à certains résultats est de toute façon celle qui est sous-jacente dans les faits à n'importe quelle récurrence, elle ne mange donc pas de pain et s'harmonise avec celle de la définition générale.

Une forme dérivée (mais parfois incontournable ) est le procédé de descente infinie de Fermat, qui gère plutôt la question contraire, par exemple si la propriété était vraie pour un entier, elle le serait pour un entier strictement inférieur:
On regarde alors si on n'aboutit pas à une absurdité , soit parce-que les éléments inférieurs sont en quantité finie, soit parce-que ceux devant vérifier la propriété considérée sont de toute façon en quantité finie.
Elle sert dans des questions épineuses d'arithmétique, mais j'ai aussi en mémoire un bon sujet de capes l'utilisant avec des questions de géométrie sous-jacentes.
Elle est donc utilisée  afin de montrer qu'une propriété n'est pas généralisable.
On a aussi une sorte de récurrence inversée qui a été utilisée par Cauchy de manière très subtile pour prouver l'inégalité arithmético-géométrique ( sans outils élaborés, fonctions, convexité, topologie...) , elle est proposée de mémoire sur ce site en exercice dans la rubrique "récurrence".

Que se passe-t-il dans ton cas particulier , par exemple, si p(n) => p(n+1) est vraie et p(1) est vraie ?

A.