Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lamouchaa

Membre

Inscription : 05-02-2022

Messages : 3

Réduction d'endomorphisme qui commute avec un projecteur

Bonjour,
Le sujet de l'exercice est le suivant : Soit $E$ un $\mathbb{R}-ev$  , Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f \circ p = p \circ f$ pour toute projection $p$ de $E$. Montrer que tout vecteur non nul de $E$ est un vecteur propre de $f$.
$Id_E = e$

J'ai établi ceci mais j'ai du mal à m'en convaincre : $\forall x \in E : f \circ p(x) +f(x) -f(x) = p\circ f(x)$  or $\exists$ $p$ de $E$ tel que $x \in Im(p)$  donc $p\circ (f-e)(x) = f\circ (p(x)-x)$  $\iff$  $p\circ (f-e)(x) = 0$ et par suite $x \in Ker(f-e)$

N'y aurait-il pas une méthode faisant intervenir la stabilité des SEP ?

Merci de votre aide.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Réduction d'endomorphisme qui commute avec un projecteur

Bonsoir,
est ce qu'on ne peut pas déjà voir que $f=p$ convient ? Par conséquent $f$ est un projecteur : $f^2=f$.
J'aboutis aussi à $f=e$ de cette manière

Dernière modification par Zebulor (05-02-2022 23:28:06)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Réduction d'endomorphisme qui commute avec un projecteur

Bonjour

  Ce que tu as fait semble fonctionner. Tu peux peut être plus simplement considérer pour p la projection sur vect(x) parallèlement à un supplémentaire et utiliser que Im(p) est stable par f....

F.