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Alister

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Probabilité: loi de Poisson

Bonjour,

Je rencontre actuellement des difficultés pour résoudre un exercice portant sur l'utilisation de La loi de Poisson.

Voici l'énoncé:

Deux joueur A et B font des paris selon les règles suivantes: on choisit arbitrairement un nombre entier naturel X selon une loi de Poisson y>0.
Si X est impaire, A gagne et reçoit X euros de B. Si X est pair, B gagne et reçoit X euros de A.
On note P la probabilité que A gagne et Q la probabilité que B gagne.

On admet pour cet exercice que: La somme (pour n allant de 0 à plus l'infini) de a^n/n!=exp^a.

1) calculer p+q et p-q?
2)Qui a le plus de chance de gagner ?
3)Qui a le plus d'intérêt à jouer ?

Pour commencer j'ai établie les expressions de P et Q a l'aide de la Loi de poisson tel que:
p=Somme de P(X=2k+1)=Somme (exp^(-y))(y^(2k+1))/(2k+1)!
q=Somme de P(x=2k)=Somme (exp^(-y))(y^(2k))/(2k)!

A partir de cet instant je calcul P+Q=(exp^(-y))(Somme (y^(n))/n!)=(exp^(-y))(exp^(y))=1

Pour p-q j'ai essayé de résonné avec la même méthode cependant je n'arrive pas à trouver le résultat que notre professeur nous a donné, soit p-q=-exp^(-2y)

J'ai cherché et trouvé un exercice similaire dans les bases de données de ce site afin de résoudre p+q mais l'énoncé mentionne une particularité pour X=0 ce qui me perd.

Je vous remercie d'avance si vous pouvez m'éclairer.

Alister, étudiant en L2 physique/chimie.

Fred

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Re : Probabilité: loi de Poisson

Bonjour,

  D'abord, ton calcul pour calculer $p+q$ est valide, mais il est inutile.
En effet, les événements "A gagne" et "B gagne" sont deux événement contraires.
Ainsi on a $P(A)+P(B)=1\iff p+q=1$ - ceci ne dépend pas du fait que $X$ suit une loi de Poisson.

Pour calculer $p-q$, le point clé est de remarquer que $(-1)^{2k}=1$ et $(-1)^{2k+1}=-1$.
A partir de là, on a
\begin{align*}
p-q&=e^{-y}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)!}-\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{y^{2k}}{k!}\right)\\
&=-e^{-y}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{-y^{2k+1}}{(2k+1)!}+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{y^{2k}}{k!}\right)\\
&=-e^{-y}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+1}y^{2k+1}}{(2k+1)!}+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k y^{2k}}{k!}\right)\\
&=-e^{-y}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n y^n}{n!}\\
&=-e^{-y}e^{-y}=-e^{-2y}.
\end{align*}

F.