Courbes convexes de largeur constante

yoshi · 09-01-2022 18:08:13

Bonjour,

Dédicace spéciale au grand amateur de courbes (et leurs équations) devant l'éternel : Bernard, voilà de quoi stimuler ta fibre crétrice :
https://images.math.cnrs.fr/Du-velo-de- … tante.html

Elles ont inspiré un chinois, M. Guan Baihua (bien connu par Google) pour se construire un vélo unique en son genre, voyez plutôt :

Bizarre s'pas ...Et pourtant, il roule, mais, grosse déception pour moi, sa vitesse maxi ne serait que 7 km/h. ;-((

@+

Bernard-maths · 09-01-2022 18:52:22

Merci Yoshi !

Je pense que ce vélo est excellent pour la digestion ... en effet en roulant, il monte et il descend, alternativement chaque roue, parfois en opposition (une en bas, l'autre en haut), parfois en "concordance" ? (les 2 en haut ou en bas) ...

Trajectoires à étudier selon les périmètres des roues ?

@ + donc !

Bernard-maths · 16-01-2022 11:09:51

Bonjour à tous ! Bonjour Yoshi !

7 km/h, c'est suffisant, vu tous les à-coups du trajet, preuve visuelle à l'appui !

Toujours au stade des justifications ... La trajectoire noire du centre de rotation de la roue parcourt des arcs de cercles centrés en A1, B1, C1 etc ..., et semble être entre deux sur des arcs de cercles centrés en N1, N2 etc ... ( à justifier !) d'où tous les soubresauts !

Autrement les sommets sont sur des arcs de cercles (colorés) ou des segments (colorés), ou des arcs de cycloïdes pour les points de rebroussements, orange pour le point rouge, bleu ou vert, non tracés, pour les points B bleu ou C vert !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-01-2022 21:17:45)

yoshi · 16-01-2022 11:45:12

Bonjour,

Justement...
Je me demandai s'il ne serait pas possible d'améliorer le dispositif pour que seules les 2 roues (en pentagones de Reuleaux) d'un vélo aient ce mouvement de montée et descente (j'y réfléchissais de loin en loin), ce que me semblent suggérer les images animées de l'article d'Images-Maths...

Et si oui, quel intérêt aurait un pareil engin : après tout, je me souviens de la sensation provoquée par les plateaux non circulaires des vélos de l'équipe Sky...

Ensuite, je me demandais aussi quelle gueules gueules pourraient avoir ces polygones de Reuleaux adaptés à l'espace (devenus des polièdres, quoi), parce que les roues du Chinois ne sont pas très loin de n'être que des polygones empilés...

@+

Bernard-maths · 16-01-2022 21:16:39

Bonsoir !

Justement, j'ai tracé l'autre jour un "tétraèdre de Reuleaux" ,avec Maple, le voici :

LAqtkbOOeBJ_Reuleaux-t%C3%A9tra%C3%A8dre-2022-01-11.jpg

Si on fait rouler sur un plan un des 4 côtés en forme de portion de phère, le sommet opposé va se déplacer sur un plan parallèle à la distance constante a = arête du tétraèdre support = rayon de la portion de sphère, de centre le 4ème sommet ... ! Donc c'est un objet de largeur constante, en 3D. NON ! Si on passe par une arête, c'est un peu plus grand ! Voir la réponse de roro, ci après ...

Questions à résoudre :

1) quelle est la forme frontière de chaque calotte ? L'aire ?

2) Si on déplace en roulant et sans tourner une calotte, quelle est la figure plane obtenue ? Quelle figure décrit le 4ème sommet ?

3) Je n'ai pas parlé de l'aire totale, ni du volume ...

Quant au vélo !?

A priori, aucun intérêt comme véhicule ... mieux vaut des vraies roues !

D'autre "Reuleauseries" ? (Désolé pour ce néologisme !)

Dans le plan, pour faire simple, mais on peut chercher plus compliqué (!), se contenter des polygones réguliers à nombre impair de côtés. Parce que par chaque sommet, on pourra tracer un arc de cercle sur le côté opposé au sommet. On aura le pentagone, heptagone, etc...

Dans l'espace le tétraèdre répond à la problématique. mais y-a-t-il d'autre(s) polyèdre(s) régulier(s) pour faire pareil ? j'ai pas vraiment cherché !

Voilà quelques idées pour ceux qui veulent se lancer, moi j'ai 5 chantiers en cours, et Yoshi, tu m'a distrait, merci !

A plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-01-2022 19:16:50)

Roro · 16-01-2022 21:42:30

Bonsoir,

Je ne sais pas exactement ce que tu as tracé dans ton dernier dessin mais si on en croit la page suivante : https://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9tr … e_Reuleaux, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas d'épaisseur constante...

La page https://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_d% … _constante est aussi intéressante sur ce sujet !

Roro.

Bernard-maths · 16-01-2022 21:52:07

Bonsoir roro !

merci pour cette remarque ! Je n'ai pas vraiment vérifié et me suis laissé entrainé par mon intuition !

Je vais donc vérifier tout ça, car je ne voyais que la rotation sur les calottes ... mais ces arêtes sont un peu "bizarres " à tracer ...

et je comprends le coup de l'arête tournante !

Alors à plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-01-2022 19:16:12)

Bernard-maths · 17-01-2022 20:58:51

Bonsoir à tous !

La littérature sur Reuleaux existe bel et bien, mais pour ce que j'en ai vu, elle est discrète en figure, et quasi muette en explications détaillées ...

Alors, je rappelle le triangle de Reuleaux, qui tourne en roulant, on a une très belle animation sur Image des Mathématiques, donné au début par Yoshi. Je me suis attaché à déterminer les trajectoires des 3 sommets et du centre ... à terminer pour la trajectoire du centre O.

Ensuite, je m'étais par ailleurs imaginé le tétraèdre de Releaux, et ai travaillé sur son élaboration ... MAIS il n'est pas d'épaisseur constante !

Je vais expliquer comment j'ai réalisé certains tracés, qui m'ont permis de "voir" comment l'arranger pour le rendre d'épaisseur constante, je pense que Meissner a du suivre une voie analogue ... ?

D'abord le tétraèdre : on prend un tétraèdre régulier ACIJ, d'arête a, et par chacun de ses 4 sommets, on trace une sphère de centre le sommet, de rayon a, donc passant par les 3 autres sommets. Les 4 sphères se recoupent selon 6 arcs de cercles, dont les centres sont les milieux des arêtes de ACIJ. Je vous renvoie à la figure en discussion #5 pour voir ce tétraèdre de Reuleaux ...

La figure suivante vous montre en noir ces 6 arcs. L'arc du haut sur l'arête[IJ] a pour centre le milieu M de l'arête du bas [AC], dont réciproquement l'arc a pour centre le milieu Q de [IJ].Les arêtes vont 2 par 2, [IC] avec |JA], et [JC] ave [IA].

Sur la suivante, en plus vous y voyez 12 arcs rouges, qui sont les côtés des 4 triangles de Reuleaux que l'on peut tracer avec les 4 côtés triangulaires de ACIJ !

Les arcs rouges sont 2 par arête, mais dans les 2 plans des 2 faces de l'arête. Les arcs noirs sont dans les plans médiateurs des arêtes, donc "au milieu" de 2 arcs rouges (voir les faisceaux 3 au centre), qu'ils dépassent un peu vers l'extérieur (voir en haut et bas) !

La suite plus tard, bonne nuit, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2022 14:41:56)

Bernard-maths · 18-01-2022 14:43:15

Bonjour à tous !

Il fait jour, et voilà 2 jours que je cogite la façon de vous présenter un solide de Meissner ... les figures !!!

Alors en voici une dédoublée :

C'est la même figure, à gauche vue disons "de profil", et à droite vue par la droite ... repérez les points T et U de droite sont passés devant, et l'arc noir (AI) est passé derrière. Pour le moment W = A, et V = T ...

Rappelons que P est le milieu de [CJ], et le centre de l'arc noir (AI), de rayon AP = a Rac(3)/2. (CTJ) est de centre A, (CUJ) de centre I, et de rayons a ...

On peut voir qu'on peut passer du triangle de Reuleaux (ACTJ) à (ICUJ) par rotation autour de (CJ) ... Pour cela, plaçons un point W sur l'arc (AI), et traçons les arcs rouges (WC) et (WJ, et (CVJ) de centres J, C et W, ce qui donne un triangle de Reuleaux mobile, pivotant autour de (CJ). V est sur le petit arc (TU), au milieu (CVJ).

Vous avez là 2 positions de W ... et dessous par balayage (presque) continuune calotte rouge du tétraèdre de Meissner, et un petit fuseau opposé à l'arc (AC).

*

On voit bien que le petit fuseau est plus à l'intérieur que l'arc noir (CJ), on a ainsi "raboté" le tétraèdre de Reuleaux pour en faire un objet d'épaisseur constante (égale à a ici).

Une suite après ... Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-01-2022 21:17:38)

Bernard-maths · 18-01-2022 17:56:49

Une petite suite !

Pour finir ? Avec les "caprices" de GeoGebra ... Combien de solides (tétraèdres) de Meissner ?

Voici les arcs de l'objet : 6 rouges et 3 noirs. D'abord les 3 fuseaux rouges en l'air, puis par dessous !

Pourquoi ? Nous avons vu que si on garde un arc noir, il faut raboter l'arc opposé pour en faire un fuseau rouge ... ceci 3 fois. On aura donc à choisir 3 arcs noirs, et il y a 2 dispositions possibles : soit ils sont en triangle, comme ici, soit ils sont en étoile avec un sommet en commun.

Dans GeoGebra il y a un outil, en 3D, "Surface de révolution" dans le grand menu des pyramides et consort. Il faut choisir un objet en formr de courbe ... ici l'un des arcs rouges, à faire tourner de 70°51', autour d'une arête du tétraèdre. MAIS ici GeoGebra n'a pas voulu le faire pour n'importe quel arc rouge ! Toutefois il a tracé 3 fuseaux en étoile, ce qui est juste suffisant pour un des 2 cas possibles !

Je vous présente donc ce cas et vous laisse imaginer l'autre par échange de arcs noirs avec les fuseaux rouges ...

Le solide dessiné a combien de faces courbes ? Par dessus nous voyons les 3 fuseaux, puis 3 faces, telles que CJI (en haut de la figure), puis CIA et CAJ. Enfin par dessous une grande face AJI, qui est une face du tétraèdre initial de Reuleaux ! Donc 7 faces courbes.

Voici l'autre cas de figure, les fuseaux rouges ne sont colorés !

D'abord les 3 arcs noirs en haut en étoile, puis vus par dessous ... On va competr 3 faces triangulairesayant C en commun, puis les 3 fuseaux non colorés, et enfin par dessousune face limitée par les 3 arcs rouges "intérieurs", donc 7 faes courbes encore !

Mais cette fois ci, pas de face du tétraèdre de Reuleaux !

On a donc bien 2 solides, mais assez différents par la taille des faces ... ? Par contre ils devraient avoir le même volume ... vu qu'on rabote 3 fois de la même manière ???

Bon, je crois que je vais m'arrêter ici. Si vous avez des remarques ou questions, faites-les moi connaître !

En espérant sans erreur ... Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (19-01-2022 21:53:01)

Bernard-maths · 28-01-2022 21:22:46

Bonsoir à tous !

En réalité je n'ai pas vraiment démontré que ces solides sont bien ceux de Meissner, d'épaisseur constante ! Qui peut vérifier ? Merci !

Je me suis aussi intéressé à des équations possibles pour ces solides ... et là c'est pas évident ! Si pour le tétraèdre de Reuleaux, la fonction Max donne un bon résultat, je n'ai rien pu faire encore avec les fuseaux raboteurs. D'ailleurs, quelle équation pour un fuseau ?

J'avais en son temps donné un petit exercice : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 320#p97320

qui permettait de voir que l'angle sous-tendu par un arc rouge de rabotage, était de 150°. On peut alors écrire une équation "simple" : MA²+MB²-2.MA.MB.cos(AMB) = AB² ! Formule "bien connue" dans un triangle quelconque.

Voici un programme avec Maple, qui dessine 3 fuseaux entiers en triangle ...

Après quelques recherches, on trouve tout ça sur Mathcurve ! https://mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml
ou encore : https://mathcurve.com/surfaces/largeur% … ante.shtml

Mais il faut adapter, car on ne veut pas les fuseaux entiers sur 360°, mais seulement sur 70°51' ... et là je bloque ... j'attends vos bonnes idées !

Voilà pour les dernières nouvelles, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (30-01-2022 14:54:53)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 09-01-2022 18:08:13

Courbes convexes de largeur constante

#2 09-01-2022 18:52:22

Re : Courbes convexes de largeur constante

#3 16-01-2022 11:09:51

Re : Courbes convexes de largeur constante

#4 16-01-2022 11:45:12

Re : Courbes convexes de largeur constante

#5 16-01-2022 21:16:39

Re : Courbes convexes de largeur constante

#6 16-01-2022 21:42:30

Re : Courbes convexes de largeur constante

#7 16-01-2022 21:52:07

Re : Courbes convexes de largeur constante

#8 17-01-2022 20:58:51

Re : Courbes convexes de largeur constante

#9 18-01-2022 14:43:15

Re : Courbes convexes de largeur constante

#10 18-01-2022 17:56:49

Re : Courbes convexes de largeur constante

#11 28-01-2022 21:22:46

Re : Courbes convexes de largeur constante

Réponse rapide

Pied de page des forums