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Th_khalifa

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Application linéaire (somme directe, Projection)

Bonjour je sais comment démontrer qu' une projection E->E est linéaire
mais dans cet exercice je suis un peu perdu:

On se place dans un R-espace vectoriel E de dimension finie, et si f est
un endomorphisme de E, on note $f^2=f\circ{f}$ .
(a) i. On considère deux sous-espaces vectoriels F et G supplémentaires
dans E, autrement dit $E=F\oplus{G}$.
Tout vecteur $\vec{u}$ de E s’écrit de façon unique $\vec{u}=\vec{v}+\vec{w}$ , où  $\vec{v}\in{F}$
et $\vec{w}\in{G}$.

Montrer que les applications p et q de E dans E, qui à $\vec{u}$ associent
respectivement $\vec{v}$ et $\vec{w}$, sont linéaires.

On appelle $p$ projection vectorielle sur $F$ parallèlement à $G$, et $q$
projection vectorielle sur $G$ parallèlement à $F$.

ii. Déterminer le noyau et l’image de $p$. Idem pour $q$.
iii. Que vaut $p+q$ ? Montrer que $p^2=p$ et que $q^2=q$.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

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Re : Application linéaire (somme directe, Projection)

Bonjour,

  Je suis un peu perdu pour savoir où tu es perdu.....

F.

Th_khalifa

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Messages : 8

Re : Application linéaire (somme directe, Projection)

Bonjour,

  Je suis un peu perdu pour savoir où tu es perdu.....

F.

Bonjour,

Je suis perdu parce que je ne sais pas comment montrer que la projection p de F // à G à part est linéaire et la projection q de G // à F  est linéaire aussi.

Cordialement

Fred

Administrateur

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Re : Application linéaire (somme directe, Projection)

Avec la définition...

si $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ sont dans $E$, ils se décomposent de façon unique en
$\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{w_1}$ avec $\overrightarrow{v_1}\in F$ et $\overrightarrow{w_1}\in G$,
$\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{w_2}$ avec $\overrightarrow{v_2}\in F$ et $\overrightarrow{w_2}\in G$.

On a donc $p(\overrightarrow{u_1})=\overrightarrow{v_1}$ et $p(\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{v_2}$.

Mais on a aussi

$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}=(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2})+(\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2})$
avec $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\in F$ et $\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}\in F$.
Donc $p(\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2})=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$.