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DasBoot

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Probabilité avec 3 dès

Bonjour, je bloque à un exercice :
On jette trois dés. Soient A l’évènement “obtenir au moins un as”, B l’évènement
“2 faces montrent le même résultat au moins”, C l’évènement “la somme des
faces est paire” et D l’évènement B ∩ C.
a- Quel est l’espace fondamental ?
b- Donner l’expression d’un évènement élémentaire et de sa probabilité.
c- Calculer les probabilités des évènements A, B, C et D.

a. Ω = {1, . . . , 6}³
b. Je pensais prendre l'évènement : obtenir trois un.
p = 1/216 (je ne suis pas sûr)
c. Je ne vois pas comment faire...

DasBoot

Invité

Re : Probabilité avec 3 dès

Aussi, j'ai du mal à comprendre un truc.
Comment on calcule le nombre de combinaisons possibles d'un lancé de 3 dés ?
18!/(3!(18-3)!) ?

Zebulor

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Re : Probabilité avec 3 dès

Bonjour DasBoot,
Question a, je donnerais la même réponse que toi. 
Question b: "obtenir trois un" est bien un événement élémentaire et 1/216 est bien sa probabilité, chaque face ayant implicitement la même probabilité d'apparaître. Je mettrais un événement élémentaire sous forme générale d'un triplet (i,j,k) avec
$i,j,k \in ${$1,2,3,4,5,6$}.
Question c - Tu peux considérer l'événement contraire $\bar A$ : "ne pas obtenir d'as". Idem pour $B$.
A l événement "Au moins deux = 2 ou 3" correspond l'événement contraire "au plus 1" qu'on peut traduire ici par "chaque face montre un nombre différent"

Pour l'événement $C$, je me poserais la question suivante : Y a t il autant de sommes paires que de sommes impaires?

Evénement $D$ : "2 faces au moins montrent le même résultat et leur somme est paire". J' y réfléchis..
Je vois deux façons :
- soit tu considères l'événement complémentaire de $D$ :"aucune face ne montre le même résultat et la somme des faces est paire" en t'aidant d'une question précédente. Cette méthode est plus rapide.
- soit tu considères l'événement $D$: "2 faces au moins montrent le même résultat et leur somme est paire" sachant que "2faces au moins = 2 faces exactement ou 3 faces"

Dernière modification par Zebulor (22-01-2022 17:37:59)

Zebulor

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Re : Probabilité avec 3 dès

re,

Aussi, j'ai du mal à comprendre un truc.
Comment on calcule le nombre de combinaisons possibles d'un lancé de 3 dés ?
18!/(3!(18-3)!) ?

Si je te comprends bien tu te poses la question du nombre de cas possibles d'un lancé de 3 dés. C'est simplement $card(\Omega)=6^3$.
ou encore le cube du nombre de sous ensembles à un élément d'un ensemble à 6 éléments : $\binom{6}{1}^3=(C_{6}^{1})^3$. C'est en fait un produit de combinaisons.

Ton nombre 18!/(3!(18-3)!=$C_{18}^{3}$ est le nombre de sous ensembles à 3 éléments d'un ensemble à 18 éléments.
Si je suis bien ta pensée cet ensemble à 18 éléments serait {$a_1,a_2...a_6,b_1,b_2,....b_6,c_1,c_2,...c_6$} où $a_i=b_i=c_i=i$ avec $i \in ${$1,2,3,4,5,6$} où les $a_n$ sont le nombre affiché par le premier dé, les $b_n$ ceux par le deuxième dé, et $c_n$ ceux du dernier dé.

Mais dans la mesure où ti considères qu'il y a $C_{18}^{3}$ triplets possibles tu comptes aussi les 2 ou 3 faces d'un même dé - par exemple tu mets $(a_1,a_2,b_1)$ dans le panier - alors que les triplets dénombrés dans ton exercice sont uniquement $(a_i,b_j,c_k)$ avec $i,j,k \in ${$1,2,3,4,5,6$} : une face par dé.

Au total 18!/(3!(18-3)! comparé à $6^3$ ça fait 600 de trop, qu'on peut dénombrer, comme résultat de

▼si on veut creuser

$6A_{3}^{2}*C_{3}^{2}+3C(6,3)$ 6 en facteur à cause des 6 faces et 3 pour les 3 triplets $(a_i,a_j,a_k),(b_i,b_j,b_k)$ et $(c_i,c_j,c_k)$ où $i,j$ et $k$ tous différents..[\]

Dernière modification par Zebulor (22-01-2022 23:12:38)

DasBoot

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Re : Probabilité avec 3 dès

re,

Aussi, j'ai du mal à comprendre un truc.
Comment on calcule le nombre de combinaisons possibles d'un lancé de 3 dés ?
18!/(3!(18-3)!) ?

Si je te comprends bien tu te poses la question du nombre de cas possibles d'un lancé de 3 dés. C'est simplement $card(\Omega)=6^3$.
ou encore le cube du nombre de sous ensembles à un élément d'un ensemble à 6 éléments : $\binom{6}{1}^3=(C_{6}^{1})^3$. C'est en fait un produit de combinaisons.

Ton nombre 18!/(3!(18-3)!=$C_{18}^{3}$ est le nombre de sous ensembles à 3 éléments d'un ensemble à 18 éléments.
Si je suis bien ta pensée cet ensemble à 18 éléments serait {$a_1,a_2...a_6,b_1,b_2,....b_6,c_1,c_2,...c_6$} où $a_i=b_i=c_i=i$ avec $i \in ${$1,2,3,4,5,6$} où les $a_n$ sont le nombre affiché par le premier dé, les $b_n$ ceux par le deuxième dé, et $c_n$ ceux du dernier dé.

Mais dans la mesure où ti considères qu'il y a $C_{18}^{3}$ triplets possibles tu comptes aussi les 2 ou 3 faces d'un même dé - par exemple tu mets $(a_1,a_2,b_1)$ dans le panier - alors que les triplets dénombrés dans ton exercice sont uniquement $(a_i,b_j,c_k)$ avec $i,j,k \in ${$1,2,3,4,5,6$} : une face par dé.

Au total 18!/(3!(18-3)! comparé à $6^3$ ça fait 600 de trop, qu'on peut dénombrer, comme résultat de

▼si on veut creuser

$6A_{3}^{2}*C_{3}^{2}+3C(6,3)$ 6 en facteur à cause des 6 faces et 3 pour les 3 triplets $(a_i,a_j,a_k),(b_i,b_j,b_k)$ et $(c_i,c_j,c_k)$ où $i,j$ et $k$ tous différents..[\]

Wow t'as réussi à me comprendre !
En effet j'ai eu du mal à comprendre la différence entre le nombre d'issues et le nombre de combinaisons...

DasBoot

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Re : Probabilité avec 3 dès

Concernant P(A).
J'avais en effet pensé à utiliser A barre (vu que P(A) = 1 - P(A barre) ). Mais pareil je ne vois pas comment on calcul P(A barre)...

DasBoot

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Re : Probabilité avec 3 dès

J'ai essayé de raisonner que sur un dé. La probabilité de ne pas avoir d'as est de 5/6.
Ensuite j'ai essayé de raisonner sur 2 dés. J'ai fait un tableau pour ça.
Et j'ai trouvé que la probabilité de ne pas avoir d'as (quand on a 2 dés) est de 25/36.

DasBoot

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Re : Probabilité avec 3 dès

Du coup j'ai réussi à construire un arbre et je suis arrivé à P(A barre) = (5/6)^3 = 125/216
Du coup P(A) 1 - 125/216.

Pour calculer P(B) je pensais prendre l'évènement contraire (comme tu m'as aussi conseillé). L'évènement chaque face est différente m'a fait penser au nombre d'arrangement possible. Mais pour utiliser cette formule j'ai du mal à savoir le nombre d'éléments qu'on a (je pensais {1,2,3,4,5,}^3 mais ça fait beaucoup...).

Zebulor

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Re : Probabilité avec 3 dès

Bonjour !

J'ai essayé de raisonner que sur un dé. La probabilité de ne pas avoir d'as est de 5/6.
Ensuite j'ai essayé de raisonner sur 2 dés. J'ai fait un tableau pour ça.
Et j'ai trouvé que la probabilité de ne pas avoir d'as (quand on a 2 dés) est de 25/36.

Faire un tableau ça aide en effet. Ton raisonnement est valable avec 3 dés comme avec $n$ dés..

Dernière modification par Zebulor (23-01-2022 09:32:01)

Zebulor

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Re : Probabilité avec 3 dès

Re,

Pour calculer P(B) je pensais prendre l'évènement contraire (comme tu m'as aussi conseillé). L'évènement chaque face est différente m'a fait penser au nombre d'arrangement possible. Mais pour utiliser cette formule j'ai du mal à savoir le nombre d'éléments qu'on a (je pensais {1,2,3,4,5,}^3 mais ça fait beaucoup...).

Je n'y avais pas pensé mais tu as raison, c'est ni plus ni moins un arrangement. Reste à voir de combien d'éléments et dans quel ensemble.
Un arrangement est le nombre de façons de ranger, ou d'ordonner si tu veux, $p$ éléments d'un ensemble contenant $n$ éléments. Nécessairement $p \le n$.
L'ordre est donc important (contrairement aux combinaisons avec plusieurs éléments) : tu as donc $n!$ fois plus d'arrangements que de combinaisons de $p$ éléments d'un ensemble de $n$ éléments.

(1,2,3) ne correspond pas au même (ar)rangement que (2,1,3)  ou (3,1,2) etc.... même si visuellement le résultat est le même lorsque les 3 dés ont été jetés au sol : on voit un dé avec la face 1, un autre avec le face 2, le dernier face 3.

On jette trois dés : sous entendu peu importe que ce soit l'un après l'autre ou tous en même temps, puisqu'on considère les événements $A$,$B$,$C$ et $D$ lorsque tous les dés ont été jetés.

Et au cas où ça pourrait servir : je viens de vérifier qu'il y a autant de sommes $i+j+k$ (i,j et k sont dans $\Omega$ ) paires qu'impaires. C'est vraisemblablement le cas quelque soit le nombre de dés jetés.

Dernière modification par Zebulor (23-01-2022 15:12:10)