Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 14-01-2022 11:22:29

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Convergence de suite

Bonjour,

Je considère [tex]f : [0;1]\to R[/tex] une fonction bornée et Riemann-intégrable sur [tex][0;1][/tex].

Pour tout [tex]1\le k\le 2^n-1[/tex] et tout [tex]x\in [\frac{k-1}{2^n};\frac{k}{2^n}[=I[/tex], on pose [tex]l_n(x)=\inf_{t\in I} f(t)[/tex].

Je souhaiterais montrer que [tex](\int_0^1 l_n(t)dt)_{n\ge 1}[/tex] converge vers [tex]\int_0^1 f(t)dt[/tex].

Bon...
Pour montrer qu'il y a convergence vers [tex]\int_0^1f(t)dt[/tex], je peux considérer la somme de Darboux [tex]L_{(f,P)}=\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\inf_{[x_{i-1};x_i]}f(t)[/tex] avec la partition [tex]P[/tex] définie par [tex]t_i=\frac{i}{2^n}[/tex] pour tout [tex]n\ge 1[/tex] et tout [tex]1\le i\le 2^n-1[/tex]. Je sais alors que comme [tex]f[/tex] est Riemann-intégrable, alors [tex]L_f=\sup_P L_{(f,P)}=\int_0^1 f(t)dt[/tex].

Autre définition équivalente de mon cours, je peux également définir [tex]L_f[/tex] de la façon suivante : [tex]L_p=\lim_{p\to +\infty} L_{(f,P_p)}[/tex] où [tex](P_p)_p[/tex] est une suite de partitions [tex]P_p=(x_0^{(p)},...,x_n^{(p)})[/tex] telle que [tex]max_{1\le i\le n(p)} |x_i^{(p)}-x_{i-1}^{(p)}|\to_{p\to +\infty} 0[/tex]

Je remarque déjà que pour tout [tex]1\le k\le 2^n-1, I\subset [0;1][/tex].

De plus, sauf erreur, [tex]l_n(x)=\inf_{t\in I} f(t)[/tex] ne dépend pas de t, donc on aurait : [tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\int_0^1 l_n(x)dt=l_n(x)[/tex]...

Je ne comprends déjà pas ce premier point...
Ensuite, j'ai l'impression que, comme f est intégrable au sens de Riemann, il suffit que je montre que, pour tout [tex]1\le k\le 2^n-1[/tex] et tout [tex]x\in [\frac{k-1}{2^n};\frac{k}{2^n}[/tex] est une partition de [0;1].

Me trompé-je ?

Merci d'avance pour vos indications.

Hors ligne

#2 14-01-2022 17:15:43

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Convergence de suite

Bonjour,

Thgues a écrit :


De plus, sauf erreur, [tex]l_n(x)=\inf_{t\in I} f(t)[/tex] ne dépend pas de t, donc on aurait : [tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\int_0^1 l_n(x)dt=l_n(x)[/tex]...


Ceci ne veut absolument rien dire. Qui est $x$ dans cette suite d'égalités?

Je pense que tu devrais montrer que $\int_0^1 l_n(t)dt$ est exactement une somme de Darboux....

F.

Hors ligne

#3 15-01-2022 05:04:40

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Re : Convergence de suite

Merci Fred. Il y a des erreurs dans le poly, ça me perd.

En tout cas, en suivant ton indication, je dois montrer que :

[tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\sum_{k=1}^n (t_k-t_{k-1})\inf_{[t_{k-1},t_k]} f(t)[/tex] pour tout [tex]n\ge 1[/tex] avec [tex]f : [0;1]\to R_+[/tex] une fonction Riemann-intégrable.

[tex]f[/tex] étant Riemann-intégrable sur [tex][0;1][/tex], on aura alors que [tex]\sum_{k=1}^n (t_k-t_{k-1})\inf_{[t_{k-1},t_k[} f(t)=\int_0^1 f(t)dt[/tex] et donc que [tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\int_0^1 f(t)dt[/tex]

On a : [tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\int_0^1\inf_{[t_{k-1},t_k[}f(t)dt[/tex]

Or, [tex]t\to \inf_{[t_{k-1},t_k[}f(t)[/tex] est une fonction en escalier sur [tex][0;1][/tex]. Elle est donc Riemann-intégrable et on a que :

[tex]\int_0^1\inf_{[t_{k-1},t_k[}f(t)dt=\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})\inf_{[t_{k-1},t_k[}f(t)[/tex].

Finalement, on a [tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})\inf_{[t_{k-1},t_k[}f(t)[/tex].

A partir de là, je me fais deux remarques :

1) Il s'agit à chaque fois de [tex][t_{k-1},t_k[[/tex], et non de l'intervalle fermé [tex][t_{k-1},t_k][/tex].
Le problème se trouve dons en [tex]t_k[/tex], et il faudrait que je trouve une fonction définie sur [tex][t_{k-1},t_k][/tex] donc la restriction à [tex][t_{k-1},t_k[[/tex] soit égale à [tex]f(t)[/tex].

2) De plus, dans toutes les égalité, il faut que [tex]P=(t_1,t_2,...,t_{2^n-1})[/tex] forme une subdivision de [tex][0;1][/tex] pour tout [tex]n\ge 1[/tex], et où l'on a posé [tex]t_k=\frac{k}{2^n}[/tex].

Cependant, la borne 1 n'est pas atteinte.

Bref, je bloque sur les détails.
Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par Thgues (15-01-2022 05:12:03)

Hors ligne

#4 15-01-2022 16:51:13

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Convergence de suite

Re-

1) qu'on prenne la borne inf sur l'intervalle fermé ou l'intervalle ouvert ne change rien. Bien sûr, ce n'est pas complètement évident et il faut un petit lemme technique pour le prouver...

2)  ce n'est pas non plus grave s'il te manque un tout petit bout de la subdivision. Si j'ai bien compris, il te manque $\frac 1{2^n}\int_[1-1/2^n,1] f  $. En effet, puisque $f$ est bornée, cette quantité tend vers $0$.

F.

Hors ligne

#5 16-01-2022 09:49:12

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Re : Convergence de suite

Bonjour Fred,

Et merci pour tes remarques :)

Hors ligne

#6 16-01-2022 12:24:06

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Re : Convergence de suite

Encore une question...
Est-ce que les fonctions [tex]l_n[/tex] sont mesurables sont [tex][0;1][/tex] ?

On a [tex]l_n : ([0;1],B(R))\to (R,B(R))[/tex] avec [tex]B(R)[/tex] la tribu borélienne.
Ainsi, il s'agit de regarder si pour tout [tex]B\in B(R), l_n^{-1}(B)\in B(R)[/tex].

Cependant, comme [tex]l_n(t)=\inf_{t\in [\frac{k-1}{2^n};\frac{k}{2^n}[} f(t)[/tex], et donc on peut écrire que [tex]l_n(t)=\sum_{k=1}^{2^n-1} a_k 1_{A_k}[/tex] avec [tex]A_k=[\frac{k-1}{2^n};\frac{k}{2^n}[[/tex] pour tout [tex]n\ge 1[/tex].
Ainsi, [tex]l_n[/tex] est mesurable en tant que somme de fonctions qui le sont.

Est-ce correct ?

Dernière modification par Thgues (17-01-2022 15:06:57)

Hors ligne

#7 17-01-2022 15:09:23

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Re : Convergence de suite

Bonjour,

J'oubliais de préciser que [tex]f[/tex] est à valeurs positives.

Avec mon message précédent, et en remarquant que les [tex]A_k[/tex] sont deux à deux disjoints, alors la fonction [tex]l_n[/tex] est étagée positive.

Auriez-vous une indication maintenant pour montrer que les [tex]l_n[/tex] sont mesurables ?

Hors ligne

#8 17-01-2022 15:56:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Convergence de suite

$l_n$ est une fonction en escalier donc elle est mesurable.
Cela dit, pourquoi vouloir cela? Si tu fais de l'intégrale de Riemann, la mesurabilité n'est pas quelque chose à laquelle on s'intéresse.

Hors ligne

#9 20-01-2022 10:56:55

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Re : Convergence de suite

Désolé de ma réponse tardive.
Merci beaucoup Fred.
J'ai effectivement redémontrer que toute fonction indicatrice est mesurable, d'où le résultat.

Hors ligne

#10 21-01-2022 00:00:35

Pharès
Membre
Inscription : 07-12-2021
Messages : 54

Re : Convergence de suite

Bonsoir.

Donc forcément, pour démontrer son exo, il faut prendre par les sommes de Darboux ?


Le pouvoir de la science, c'est l'information.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt moins quarantehuit
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums