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#1 10-12-2021 17:59:30

Tonny_Le_valois
Membre
Inscription : 10-12-2021
Messages : 1

Problème avec les dénombrement

Bonjour Madame, Monsieur,

Je suis bloqué sur un problème ( je suis en BTS à  distance) de dénombrement. Précisément je suis bloqué sur la question n°5 de l'exercice 1. Pouvez - vous débloquer la situation. Je vous remercie d'avance.

Tonny

Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre couleurs : pique (noire), trèfle (noire), cœur (rouge), carreau
(rouge), et chaque couleur est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As.
Un ensemble de huit cartes tirées en même temps dans le paquet de 32 cartes s'appelle une main.
Un ensemble de huit cartes tirées l'une après l'autre et rangées dans l'ordre ou on les a tirées, s'appelle un tirage.

Combien y a-t-il de mains contenant des cartes de toutes les couleurs ?

Hors ligne

#2 11-12-2021 08:53:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Problème avec les dénombrement

Bonjour,

  Je me lance (mais j'ai toujours peur d'écrire une connerie avec un dénombrement) : il te faut un pique, un trèfle, un coeur et un carreau, et une autre carte.
Tu choisis d'abord la couleur pour laquelle tu as deux cartes : il y a 4 choix.
Cette couleur choisie, tu choisis dans cette couleur 2 cartes parmi 8 : il y a $\binom 82$ choix.
Pour chaque autre couleur, tu choisis une carte parmi 8 : cela fait $8^3$ choix.

Le nombre de mains recherché est donc $ 4\times\binom 82\times 8^3$, ce qu'on peut bien sûr simplifier avec la formule des
coefficients binomiaux.

F.

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#3 14-12-2021 14:04:10

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Problème avec les dénombrement

Bonjour,

Pour synthétiser mes deux posts précédents ( devenus inutiles et que j'ai donc supprimé ), et si je comprends bien la question:

Ce dénombrement est relatif aux mains de belote ( 8 cartes parmi 32) sans chicane (chaque couleur est présente au moins une fois)
Cela revient au problème suivant ( avec ici n=32, m= 8, k = 4 est un cas particulier ):

Soit E de cardinal fini n, partitionné en k classes de m éléments, avec [tex]m \ge k[/tex].
Le nombre de parties de E à m éléments qui intersectent toutes les classes vaut:

[tex]\binom{n}{m} + \sum_{i \in [1;k-1]} (-1)^i  \binom{k}{i}\binom{n-i.m}{m}[/tex]

L'idée est d'enlever de toutes les mains possibles les mains qui on une chicane dans une couleur, quelle qu'elle soit.
Le plus simple est alors d'utiliser le crible de Poincaré.

Dans le cas des mains de belote, on trouve un peu plus de 7,6 millions de mains (eh oui quand-même!).
La valeur de Fred est donc largement sous-estimée.

Dans le cas où k = m, on peut essayer de montrer que cette expression est tout simplement égale à $m^m$ , que l'on peut obtenir directement bien-sûr.

Avec un set de deux couleurs {As , Roi , Dame } ( ultra mini-belote où k = 2, m = 3 , n = 6 ), on pourra vérifier que le nombre de possibilités est bien égal à 18.

Couleurs         figures
Piques    :      A
Coeur     :      A R
--------------------------

Couleurs         figures
Piques    :      A
Coeurr     :     A D
--------------------------

Couleurs         figures
Piques    :      A
Coeur     :      R  D
--------------------------

Couleurs         figures
Piques    :      R
Coeur     :      A R
--------------------------

Couleurs         figures
Piques    :      R
Coeur     :      A D
--------------------------
Couleurs         figures
Piques    :      R
Coeur     :      RD
--------------------------
Couleurs         figures
Piques    :      D
Coeur     :      A R
--------------------------

Couleurs         figures
Piques    :      D
Coeur     :      A D
--------------------------
Couleurs         figures
Piques    :      D
Coeur     :      RD
--------------------------

+ encore 9 mains en permutant les deux couleurs, ce qui fait bien 18 ...

Avec un autre jeu bidon pourvu de 3 couleurs (mettons P,C,K) et les 5 honneurs du bridge le nombre de mains sans chicane est
[tex]\binom{15}{5} - \binom{3}{1}\binom{10}{5} + \binom{3}{2}\binom{5}{5}[/tex] soit après calcul 2250 mains.

A.

Dernière modification par bridgslam (26-01-2022 11:12:12)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#4 19-01-2022 11:32:17

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Problème avec les dénombrement

Bonjour,

En supprimant mes deux posts précédents, j'avais shunté du coup sans le vouloir le résultat annexe suivant, intéressant aussi en soit du point de vue dénombrement.
Je le rappelle donc au cas où cela vous interpelle
En raisonnant de manière plus analytique , avec k couleurs  de m cartes chacune, on peut pour répartir les m cartes s'intéresser d'abord aux k-uplets ne comportant pas de 0 et  de somme m ( par exemple pour la belote ( 3 , 2 , 1 , 2) en suivant  l'ordre décroissant des couleurs au bridge (Pique,Coeur, Karreau, Trèfle) , (1,2,3,2) , ( 2,2,2,2) en sont d'autres , pour fixer les idées, ici  k = 4, m=8 .

Le nombre total de tels uplets sans 0 revient à placer k-1 séparateurs parmi m-1 intervalles, leur nombre est donc $\binom{m-1}{k-1}$.
Pour la belote on a donc $\binom{7}{3}$ types de mains ordonnées possibles entre les P,C,K,T.
Pour la mini-belote à 2 couleurs et 3 cartes les uplets sont évidemment (1,2) et (2,1) , il y en a $\binom{2}{1}$

Pour accéder au dénombrement initial, il reste encore à répartir les cartes suivant ces types de k-uplets, ce qui procède par produits de combinaisons.

On retrouve après quelques essais et suivant les  différents jeux choisis les mêmes résultats (calculette à l'appui conseillé)
Il n'en reste pas moins que cette deuxième méthode en deux étapes non évidentes est beaucoup plus laborieuse qu'avec le crible de Poincaré, qui court-circuite cette recherche, puis  distributions, des cartes en k-uplets.

A.

Dernière modification par bridgslam (26-01-2022 11:15:24)


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#5 06-02-2022 18:30:58

Jack
Invité

Re : Problème avec les dénombrement

Bonjour à tous,

Simple constatation, je ne vois pas de formule de combinaisons ou de dénombrement dans les réponses sur les jeux de cartes (bridge ou belote) applicables sur les problèmes posés. est-ce normal ou pas ?, personnellement c'est ce que j'essaie de trouver pour résoudre mes questionnements que je soumettrai si je n'y arrive pas tout seul.

Bonne soirée

#6 07-02-2022 08:22:58

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Problème avec les dénombrement

Bonjour,

Les coefficients du binôme y apparaissent dans la formule que j'ai donnée dans le cas le plus général.
Elle se déduit immédiatement en raisonnant sur le crible de Poincaré ( ou formule d'inclusion-exclusion).

Pas franchement sorcier, je l'ai établie quasi de tête juste après la réponse ( fausse) de Fred dans le fil de discussion, en attendant ma seconde dose pour la Covid à Paimpol, où je n'ai pas poiroté longtemps, contrairement à la première dose.

Fan invétéré de bridge, je m'y suis aussitôt intéressé, et c'était une question que je ne m'étais jamais posée ( au bridge on s'intéresse plus au contraire, les mains qui possèdent des courtes, singleton ou chicane, afin de couper rapidement )
Tu pourras la vérifier dans tous les cas particuliers variés et souhaités imaginables, y compris les exemples que j'ai donné.

Par-contre sauf valeurs très particulières ( k = m par exemple) , elle ne semble pas se simplifier.

Pour la question initiale (en mains de belote ),  si tu reprends  la formule avec n = 32, k = 4, m =8, tu y utiliseras forcément les combinaisons.

Si je comprends bien ta remarque en tous cas.

A.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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#7 07-02-2022 10:03:24

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
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Messages : 1 299

Re : Problème avec les dénombrement

Bonjour,

Peut-être par-contre que ce qui te chiffonne, c'est le parallèle direct entre les mains à dénombrer et l'analyse sur les classes.

Si tu ranges le jeu par couleurs ( 4 au bridge, la belote...) et que tu appelle classe une de ces 4 couleurs parmi l'ensemble du jeu
( 52 cartes au bridge, 32 à la belote) , une main sans vacuité (chicane) dans chaque couleur est donc une partie quelconque avec un nombre donné de cartes ( 13 au bridge, 8 à la belote ) qui coupe chacune des classes, qui partitionnent le jeu total: il faut un peu de chacune.
Les classes sont des références, perso si l'atout est pique je préfère avoir une main avec 8 piques, 2 coeurs, 2 carreau, 1 trèfle, qu'une main avec 1 pique, 2 coeurs, 8 carreaux, 2 trèfles évidemment. Même principe à la belote sans  annonces ( avec les histoires d'annonces, par exemple avec (V9,V9,V9,V9) j'aurais deux excellents carrés avec une main la plus plate possible ).

Le dénombrement envisagé est donc bien celui du nombre de parties ( à 8 ou 13 cartes) parmi 32 ( ou 52) qui intersectent les 4 classes
( les anglo-saxons les nomment plutôt d'ailleurs suits , ce qui est plus cohérent, nos fameuses "couleurs", qui dans les jeux d'antan n'en présentaient que deux, maintenant carreau tire sur l'orange et trèfle sur un vert foncé, dans les packs modernes mais bon... on continue malgré cela ... à parler de couleurs noires et rouge, pour simplifier certains sujets, les enchères par exemple , cerise sur le gâteau !)
Il faut donc ôter de toutes les mains possibles, celles ayant au moins une chicane dans une quelconque couleur => c'est l'emploi direct
du miraculeux crible de Poincaré (bon exercice si tu veux détailler)

Si tu parviens à simplifier la formule générale, je suis preneur!

Si un épicier propose sur son étal de fruits m oranges , m pommes, m kiwis, m bananes, m noix de cocos... chaque fruit dans sa catégorie présentant par exemple des qualités différentes de fraîcheur (ou distinguables d'une manière ou d'une autre, pays d'origine que sais-je...) , et que je veux offrir à mes invités un plateau de fruits pour gouter à tous,
je tomberai automatiquement sur ce genre de dénombrement.
Ya la même chose avec les fruits de mer, nettement plus cher... la fraîcheur est alors fondamentale :-) mais dans ma région ça roule!

A.


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