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#1 16-02-2021 16:53:32

bonnes
Membre
Inscription : 27-03-2020
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Application aux fractions

Bonjour,
Un bonjour particulier à Yoshi et Freddy qui m'avaient, en 2020, dépanné sur une application de PPCM et PGCD. Je suis à nouveau en panne sur un problème que je me permets de vous soumettre. Le voici :

"Un marchand revend à raison de 9 € le mètre une pièce d'étoffe à un prix inconnu.
Il vend une première fois les 3/8 de la pièce, une deuxième fois les 3/5 du reste et une troisième fois la moitié du nouveau reste. Ces trois ventes ont déjà produit une somme égale au prix d'achat total de la pièce, augmenté de 9 €. Dans une quatrième vente, le marchand vend le reste de la pièce et son bénéfice total est de 144 €.
Calculez la longueur de la pièce et le prix d'achat du mètre."

Nota : Je trouve bien que 7/8 correspondent aux trois ventes qui produisent une somme au prix d'achat total de la pièce + 9 €. Mais, je bloque à ce stade.

Pouvez-vous me venir en aide. A l'avance, je vous adresse toute ma reconnaissance et ma sympathie.
Très cordialement
Bonnes

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#2 16-02-2021 17:19:29

yoshi
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Re : Application aux fractions

Bonjour,


Ave !
Quant à freddy, hélas, je ne suis pas optimistye : cela fait un sacré bout de temps qu'il lutte contre la maladie...
On pourrait faire ça via équation(s) mais
1. Ce ne serait pas drôle,
2. Je n'en vois pas vraiment l'utilité...
J'avais, dans le temps,  donné en 4e tout une série du même genre à difficulté croissante pour finir en assez ch... du point de vue des élèves à faire arithmétiquement...
Bon, Bonnes (^_^) tu cales sur le plus simple...
Benef =PV-PA ou PV=PA + B
Vente 7/8 de la pièce --> PA +    9 €
Vente 8/8 de la pièce --> PA + 144 €
Conclusion ?

@+


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#3 17-02-2021 11:16:56

bonnes
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Re : Application aux fractions

Bonjour Yoshi,
Je suis sincèrement triste pour Freddy, il est, si je me souviens bien jeune grand-père... La vie est injuste et cruelle.
Si je suis ton aide pour mon pb:
Vente 1/8 =(PA+144)-(PA+9)=144-9=135 €
Vente 8/8= 135 x 8 = 1080 €
Longueur: 1080/9 = 120 m
Achat du m: 1080-144= 936/120= 7,8 €
PS: je ne suis pas sûr de mon coup.
Avec mes meilleurs sentiments.

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#4 17-02-2021 11:54:49

yoshi
Modo Ferox
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Re : Application aux fractions

Re,

Je suis d'accord, sauf sur cette écriture :
1080-144= 936/120= 7,8 €
C'est juste une horreur mathématique...
On est bien d'accord que si j'écris :
a = ... =... = ... =... = b
Ce qui est à un bout de la chaîne d'égalité est égal à ce qui est à l'autre bout : a = b ???
Oui ? Ah...
N'est-ce pas ?
Tu avais deux solutions.
Soit : (1080-144)/120= 936/120 = 7,8 €
Soit : 1080-144 = 936 ; 936/120 = 7,8 €

On arrivait aussi à la solution ainsi : 144/120 = 1,2 soit un Prix d'Achat au mètre inférieur de 1,20 € au Prix de Vente au mètre.
Prix d'Achat au mètre :
9 - 1,20 = 7,80 Réponse 7,80 €...

Sauf que j'avais un copain libraire et qu'il y a bien longtemps, un jour on discutait, achat, vente, bénéfice et je lui disais :
Tiens, tu as vendu 25 € un livre acheté 20 €, tu as gagné 5 €...
Et  lui de me répondre :
tu te trompes, je n'ai rien gagné...
J'en ai acheté 6, j'ai dépensé 120 €. Je viens d'en vendre un, 25 €. En ce qui concerne ces livres, je suis toujours en déficit de 95 €.
Je ne commencerai à faire un bénéfice qu'après en avoir 120/25= 4,8, donc à la vente du 5e. 25 * 5 =125, j'aurai gagné 5 € et le 6e ce sera 100% de bénéfice.
Donc, j'ai apprécié que l'énoncé dise :
Ces trois ventes ont déjà produit une somme égale au prix d'achat total de la pièce, augmenté de 9 €.

Tu vois bien qu'il ne faut pas être pessimiste sur tes capacités...
Comment t'ai-je mis sur la voie ?
Je n'ai pas fait grand chose : juste pêché 2 infos dans l'énoncé que j'ai récrites l'une en dessous de l'autre...
Le reste, ce n'est pas moi qui l'ai fait !!!

@+


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#5 17-02-2021 13:36:56

bonnes
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Re : Application aux fractions

Comme toujours merci pour cette "adorable" explication avec son complément.
Bonne continuation. Merci encore.

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#6 11-01-2022 11:59:20

bonnes
Membre
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Re : Application aux fractions

Bonjour et bonne année,
Je suis un grand-père en difficulté sur un problème de 4e. Voici son énoncé :
"Un ordinateur est infecté par un virus. Ce virus accède au carnet d'adresses et infecte chaque seconde 20 nouveaux ordinateurs.
1- Combien de nouveaux ordinateurs seront infectés au bout de 10 secondes et combien au total ?
On sait que au bout d'une seconde 20 nouveaux ordinateurs sont infectés et au total 21.

Je pense que au total le nombre de nouveaux ordinateurs infectés au bout de 10 secondes est de 20 puissance 10.
S'agissant du nombre total, je suis en difficulté pour le calcul : je pense que au bout de 3 secondes, le nombre total est : 1 + 20 + 20puissance2 + 20 puissance 3 ? Qu'en pensez-vous ? Mais, alors quel calcul pour arriver à 10 secondes ?
Merci pour votre aide et très cordialement,

Michel

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#7 11-01-2022 12:18:35

Paco del Rey
Invité

Re : Application aux fractions

Bonjour bonnes.

Tu veux calculer $S = 1 + 20^1 + 20^2 + \ldots + 20^{10}$.
L'idée est de multiplier $S$ par $19$. Pourquoi $19$ ? Parce que c'est $20-1$.
On développe
$\begin{array}{cl}
19S = (20-1)S = & &\phantom{-}20 + 20^2 + 20^3 + \ldots + 20^{10} + 20^{11}\\
& -1&-20- 20^2 - 20^3 - \ldots - 20^{10}
\end{array}$

Paco.

#8 11-01-2022 20:05:04

bonnes
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Re : Application aux fractions

Merci pour ta réponse, mais je suis encore dans l'incompréhension. On a bien au bout d'une seconde 20 ordinateurs nouveaux infectés et pour connaître le nombre total d'ordinateurs infectés on ajoute 1 ( l'ordinateur de départ). Au bout de 2 secondes on aura 20 puissance 2 nouveaux ordinateurs infectés et 1+20+20 puissance2 ordinateurs infectés au total. Ce raisonnement est-il juste ?
Merci bien pour ton aide et bonne soirée.
Bonnes

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#9 12-01-2022 16:15:06

yoshi
Modo Ferox
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Re : Application aux fractions

Bonjour,

Depuis le début, cet énoncé me chiffonne. Apparemment je suis le seul.
Par curiosité, je viens de faire le calcul avec l'outil qui va bien. Résultat : $10\,778\,947\,368 \,421$...
Est-ce bien cohérent ? y a-t-il autant d'ordinateurs allumés en même dans le monde ?
Or le Credo de tout professeur de mathématique doit être : on n'utilisera que des nombres fréquentables : les Inspecteurs ne manquent pas de le rappeler...
Ce qui confirme ma gêne !

"Un ordinateur est infecté par un virus. Ce virus accède au carnet d'adresses et infecte chaque seconde 20 nouveaux ordinateurs.

dit l'énoncé...
La première idée a été d'approuver ta vision des choses, Bonnes...
Puis j'ai réfléchi, certes les puissances sont au programme de 4e, mais l'énoncé permet une autre interprétation...
L'énoncé ne dit pas :
A chaque seconde, le nombre d'ordinateurs infecté est multiplié par 20 :
On peut donc lire :
Ce virus accède au carnet d'adresses et infecte chaque seconde 20 nouveaux ordinateurs comme une addition :
S = 1+20*1+20*2+20*3+...........20*10

N-B
1. Dans les 2 interprétations, après 1 s, on a bien 21 ordinateurs infectés...

@+

Dernière modification par yoshi (14-01-2022 12:32:57)


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#10 14-01-2022 11:32:49

bonnes
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Re : Application aux fractions

Bonjour,
Il s'agit d'un exercice qui est bien sur le livre de 4 ème mais que le professeur n'a pas donné à faire, c'est uniquement moi qui  essaye de le résoudre. Je suis confus, je viens de m'apercevoir qu'il est dans la rubrique "outils numériques appliqués aux puissances". Sagit-il d'un exercice à faire uniquement avec un tableur ?  Mais à ce jour, le professeur de math, de mon petit fils, ne leur a fait faire aucun exercice avec un tableur.
Il y a également dans son livre des applications algorithmiques, à la fin de chaque châpitre, qui ne sont pas abordées... Bien évidemment l'année scolaire n'est pas encore terminée ... Mais je m'interroge tout de même.
Merci et félicitations pour votre forum.
Bonnes

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#11 14-01-2022 19:00:09

yoshi
Modo Ferox
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Re : Application aux fractions

Bonjour,

"outils numériques appliqués aux puissances"....
Ah... Alors j'avais tort, il s'agit donc bien de puissances.

Cela dit, les "outils numériques" sont à ce niveau, de 2 ordres : le tableur ou la calculatrice.
Il y en a encore un : un langage de programmation, mais là, ça dépend du niveau d'intérêt de l'élève...

L'exercice permet la confusion : je le trouve mal écrit.
Il est dans l'air du temps : montrer que les Maths sont partie prenante de la vie courante en donnant des exercices concrets.
Lorsque j'étais encore en activité, il était déjà clair pour moi que c'était indispensable.
Mais...
Je veillais à ce que ces exos soient plausibles...
Là, il est invraisemblable d'arriver à dire qu'en 10 s, à partir d'un ordi infecté, on arrivera à dix mille sept-cent soixante-dix-huit milliards d'ordinateurs infectés...
Y a-t-il, dans le monde, dix mille sept-cent soixante-dix-huit milliards d'ordinateurs ?.

Le tableur.
1. Tableur n'est pas synonyme d'Excel
2. Je me sers de la suite bureautique Apache OpenOffice (parfois de Libre Office)

Avec OpenOffice
j'écris sur la 1ere ligne
dans la cellule A1 : 0
dans la cellule B1 : 1
dans la cellule C1 : 2
....
dans la cellule K1 : 10
qui représentent les secondes qui s'écoulent
Ligne de dessous :
En A2 :1
en B2 : = A2*20
Je sélectionne la cellule B2, je ne relâche pas la pression sur la souris et j'étends la sélection jusqu'à K2 (*)
Je vais alors dans le menu Edition, je clique sur Remplir, puis sur : à droite.
Et toutes les multiplications se font automatiquement.
Mais comme, avec la dimension par défaut, les colonnes ici ne sont pas assez larges, je mets la flèche de souris sur une séparation, une double flèche apparaît : je clique gauche et ne relâche pas, puis je tire la séparation vers la droite. Je renouvelle l'opération à chaque colonne.
Ou encore : sélectionner les connes A à L, ouvrir le menu Format, puis colonnes, puis largeur et choisir par ex 3 cm.

Dans la cellule L2, je tape encore  = SOMME(A2:K2) et je valide.
Le total s'affiche : $10\,778\,947\,368 \,421$

Si je prends Excel.
Le pb c'est que tout se passe comme si Microsoft s'ingéniait à pourrir la vide des utilisateurs :moi qui dans mes débuts (disons jusqu'à Word2000), dépannait parfois la secrétaire du Collège quand elle voulait quelque chose de spécifique et que ça ne marchait pas : elle venait me trouver en me disant : tu vas bien trouver une astuce pour contourner la difficulté, moi qui disais-je... je ne peux plus voir Microsoft Office en peinture...
Il faut se poser la question de la version...
En principe de la v. 2003 à la v. 2010 il y a des menus en faut de page : Fichier Accueil Insertion Mise en page... etc
Cliquer sur l'un de ces menus déroule un ruban de sous-menus dont le nom est en bas de ruban.
Jusqu'à l'astérisque ci-dessus, pas de changement...
Ensuite, il faut accéder au ruban du menu Accueil.
En fin de ruban, se trouve un sous-menu Edition.
C'est là que se cache la mention : Remplissage.
Cliquer dessus : les cellules se complètent de C2 à K2.
Seulement
1. les cellules ne sont pas assez larges.
    On peut les élargir comme avec OpenOffice ou avec le ruban précédent avant le menu Edition, on trouve le sous-menu Cellules.
    Sélectionner les cellules A2 à L2. Puis dans le ruban aller au sous-menu Cellules : cliquer sur Format, puis largeur de colonnes.
   J'ai choisi 15.
2. Les grands nombres sont dans ce genre : 1.024E+13  comprendre : 1.024 * 10^13...
    Ruban du menu Accueil.
    Le sous-menu depuis la gauche est intitulé nombre.
    A côté du titre nombre se trouve une petite flèche dirigée de haut en bas dans le sens gauche droite : cliquer dessus.
    Vous pouvez Formater vos cellules : la liste des catégories dispo commence par Standard, puis en dessous nombre.
    Cliquer sur nombre et mettez 0 décimales au lieu de 2.
3. Sélectionner les cellules de A2 à L2 incluse. Menu Edition du Ruban Accueil : cliquer sur Somme automatique.

C'est fini. Doit s'afficher : $10\,778\,947\,368 \,421$

@+

[EDIT]
Si le petit-fils veut s'amuser un peu, 3 exos extraits d'un DM de 4e. (le 3e est production personnelle).
Marée noire
344000 tonnes de pétrole brut se répandent sur la mer. En admettant que ce pétrole s'étale uniformément à la surface de l'eau et forme une couche de 0,5 x 10-1 cm d'épaisseur, quelle est l'aire en km2 de la tache ainsi formée ?
(Masse volumique du pétrole : 860 kg/m3
Volume = Masse / masse volumique)

Le nombre d'Avogadro.
Amedeo Avogadro, chimiste italien du XIXe siècle, découvrit que 18 g d'eau contenaient 6,023 x 1023 molécules.
Si l'on empilait ce nombre de  feuilles de papier à cigarettes (épaisseur 0,1 mm), quelle serait la hauteur atteinte ? Exprimer votre résultat "normalement" en km puis en utilisant l'écriture scientifique.
Dépasse-t-on la distance Terre-Soleil ?

La légende du Brahmane Sissah (Ve s. ap. J.C)
Le Brahmane Sissah, en récompense de l'invention du jeu d'Echecs, aurait,  selon la légende,  demandé qu'on lui compte 1 grain de blé sur la première case de l'échiquier, 2 sur la 2e , 4 sur la 3e, 8 sur 4e, 16 sur la 5e …etc.
1. Combien comptez-vous de grains sur les 3 premières cases ? Comparer avec 23.
2. Combien comptez-vous de grains sur les 7 premières cases ? Comparer ce résultat avec 27
3. Combien comptez-vous de grains sur les 8 premières cases  ? Comparer ce résultat avec 28.
4. En déduire l'écriture (simple) du nombre de grains ainsi obtenu avec les 64 cases.
5. Une charrette contenait, à l'époque, 1 m3 de blé, et il fallait 32 grains pour 1 cm3. Pour simplifier, ajoutons 1 grain de blé au total.
Sissah aurait-il dû recevoir plus ou moins de 1 milliard de charrettes ?

N-B : Il y a des versions plus ou moins enjolivées à la marge de cette légende, mais elle m'a fourni la trame pour un exo permettant de de s'amuser un peu avec les puissances de 2 et de constater que même avec le nombre 2 et 64 cases, on arrive à de très grands nombres...

Cela se serait passé en Inde où un Maharajah immensément riche et puissant s'ennuyait ferme...
Il fit donc publier une demande de proposition d'un jeu qui puisse l'intéresser, aux conditions suivantes :
Si le jeu proposé l'intéressait, il offrirait à celui qui le lui avait apporté le cadeau de son choix...
Dans le cas contraire, il lui ferait couper la tête pour l'avoir dérangé.
Les amateurs ne se bousculaient pas (et pour cause !) quand un jour, Sissah, un brahmane, lui présenta le Tchaturanga (qu'on traduit généralement par Jeu des rois), l'ancêtre du jeu d'échecs : deux Sultans et leur vizir se faisaient la guerre sur 64 cases.
Il y avait deux sortes de Cavalerie : à dos de cheval, à dos d'éléphant (l'ancêtre de nos Fous), des éléphants portant un gros panier dans lequel prenaient place des hommes et des fantassins piquiers...

Le Sultan, emballé, s'enquit auprès de Sissah de la récompense souhaitée par celui-ci qui lui demanda confirmation  de l'absence de limite à son choix.
Ce qui fut fait.

Le Sultan fut surpris de la modicité apparente des exigences du Brahmane. Il mit sur l'affaire ses meilleurs "mathématiciens" qui revinrent penauds signifier à leur Sultan qu'il s'était imprudemment avancé et qu'il lui serait impossible de tenir sa parole...
(Un italien dirait à propos de la légende : Se non è vero, è ben trovato !)

Au delà de la fable, il y a la leçon : un joueur d'échecs n'avance que ce qu'il est capable de faire sinon il se tait. Ainsi, si dans une partie, il vous annonce que vous êtes échec et mat en 5 coups, vous pouvez le croire sinon il ne l'aurait pas dit...

En fait, cela ne s'annonce même (on ne le voit que dans les exercices d'échecs) : entre deux joueurs de niveaux comparables, lorsque l'un d'entre eux comprend que sa partie est perdue, il ne se lance pas dans l'acharnement thérapeutique, il abandonne par respect pour son partenaire/adversaire...

15 ans après, j'ai encore mon stock de leçons, d'interros, de Devoirs Maison  (et les corrigés!).

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#12 15-01-2022 09:52:23

bonnes
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Re : Application aux fractions

Bonjour Yoshi,
Merci beaucoup pour ces brillantes explications et merci également pour les exos.
Bonne journée à vous.
Bien cordialement.
Bonnes

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#13 17-01-2022 15:10:17

bonnes
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Re : Application aux fractions

Bonjour,
Je ne voudrais pas abuser, mais je "sèche" encore sur une programmation Scratch qui est une application des fractions de la classe de 4ème. Je me permets de vous soumettre l'énoncé : "un chat boit toutes les heures dans un bol de lait. A chaque fois, il n'en boit jamais plus de la moitié afin d'en garder un peu pour plus tard. Il ne boit jamais plus de 140 ml d'un coup. On lui donne 1 litre de lait.
Ecrire le script qui donne la quantité de lait restante au bout de 10 h."

Dans la correction du script, il est indiqué :
- 1ère ligne : Mettre quantité à 1000
- 2e ligne : Répéter 10 fois avec boucle qui indique :
       si quantité > 280 alors
       mettre quantité à quantité - 140
       sinon mettre quantité à quantité * 0,5

J'ai testé ce script et le résultat proposé est = 10 ml.

Mais je ne comprends pas la logique de cet algorithme ?
Merci de me faire part de vos compétences et bien cordialement,
Bonnes

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#14 17-01-2022 19:22:23

yoshi
Modo Ferox
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Re : Application aux fractions

Bonsoir,


Définition du mot Algorithme
Citation :
Un algorithme est composé d'instructions et d'opérations réalisées, dans un ordre précis, sur des données afin de produire un résultat, et souvent résoudre un problème plus ou moins complexe

Non, non, aucun abus.
D'autres algorithmes ? Je prends  (sans les solutions) !
Encore un truc écrit avec les pieds...

Le chat adapte sa consommation pour boire pendant 10 fois.
Tant que la quantité de lait restante est supérieure à 280 mL, il boit 140 mL (son max).
Dès que la quantité est inférieure, il ne boit plus que la moitié du reste.
Dit comme ça, alors le script colle à l'énoncé ci-dessus.
Je l'ai fait en Python, et j'ai affiché les étapes :

Qte=1000
for i in range(1,11):
    if Qte>280:
        Qte=Qte-140
        print("Heure n°", i,"  ",Qte," mL")
    else:
        Qte=Qte/2
        print("Heure n°", i,"  ",Qte," mL")

Sortie :   
Heure n° 1   860  mL
Heure n° 2   720  mL
Heure n° 3   580  mL
Heure n° 4   440  mL
Heure n° 5   300  mL
Heure n° 6   160  mL
Heure n° 7   80.0  mL
Heure n° 8   40.0  mL
Heure n° 9   20.0  mL
Heure n° 10 10.0  mL
 

Le but du jeu, pour le chat, est d'adapter sa consommation pour tenir 10 h : le script montre seulement le déroulement de la consommation en respectant les conditions imposées et d'arriver aussi près du reste nul que possible.
Quant aux conditions imposées, le script n'explique rien : l'auteur de l'exo a sorti un lapin de son chapeau...
Si rapport il y a avec les fractions, il est très très lointain...
Ma fille dirait d'ailleurs : quel rapport avec la choucroute ???

Quant à ton inquiétude concernant l'absence de travail, sur les algorithmes, du fiston, pour moi rien de surprenant.
L'Education Nationale a donc toujours la désagréable manie de lancer les profs sans formation préalable.
Le prof de Maths lambda est en général (il y a quand même quelques "exceptions"), sur ce sujet, "doctum cum libro", retirez-lui le corrigé desdits algorithmes, et il sera aussi dépourvu qu'une poule qui trouverait un couteau...

il n'y peut rien, parce que pas formé pour : on "compte" sur lui pour se former seul (y a pas de petites économies)...

Les jeunes Profs (<40 ans) sont quand même plus à l'aise...

@+

Dernière modification par yoshi (17-01-2022 21:40:11)


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#15 18-01-2022 13:31:08

bonnes
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Re : Application aux fractions

Bonjour Yoshi,
Merci encore une fois pour ces explications précieuses et très claires. Je vais communiquer l'explication à mon petit-fils.
Avec toute ma sympathie et ma reconnaissance.
Bonnes

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