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raphael.thiers

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Corps de décomposition d'un polynôme rationnel de degré 3

Bonjour,

Ma question est assez basique mais je ne maîtrise pas bien ce sujet.

Si on a un polynôme $P$ sur $\mathbb{Q}$, irréductible de degré 3 ayant une unique racine réelle (que je note $\alpha$)et deux racines complexes (que je note $\beta$ et $\overline \beta$).
Si je considère le corps de rupture $\mathbb{Q}(\alpha)$ pour $P$ c'est bien un sous-corps de $\mathbb{R}$ mais $Q(\beta)$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$ pour $P$ et n'est pas un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ donc $\beta \notin \mathbb{Q}(\alpha)$ et donc corps de rupture et corps de décomposition de $P$ diffèrent.

Sur $\mathbb{Q}(\alpha)$   $P$ est scindé et donc de la forme $P(X)=(X-\alpha)T(X)$ avec $T$ de degré 2.
On en déduit par la formule de multiplication des degrés
  $[\mathbb{Q}(\alpha)(\beta):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha)(\beta):\mathbb{Q}(\alpha)]\times[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2\times 3=6$

On en déduit que le corps de décomposition a un degré 6 sur $\mathbb{Q}$ (même en rajoutant $\overline{\beta}$) tandis que le degré du corps de rupture est de 3 sur  $\mathbb{Q}$.

Bon, mon problème c'est que j'ai lu la correction de l'exercice 24 du chapitre 10 sur les corps de l'ouvrage d'algèbre de Madame Szpirglas et qu'on n'y lit que polynôme de rupture et de décomposition sont égaux dans le cas du polynôme $X^3+4X^2-5X+7$ ,qui est bien dans ma configuration.
Je pense que leur correction est fausse en fait mais si ce n'est pas le cas, où se situe mon erreur ?

Dernière modification par raphael.thiers (15-01-2022 16:40:59)

Fred

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Re : Corps de décomposition d'un polynôme rationnel de degré 3

Bonsoir,

  Je pense que tu as raison : ici, corps de rupture et corps de décomposition ne peuvent pas être identiques, puisque le corps de rupture ne contient pas toutes les racines du polynôme.

F.

raphael.thiers

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Re : Corps de décomposition d'un polynôme rationnel de degré 3

Je te remercie, Fred me voici rassuré; cet ouvrage d'Algèbre bien que globalement de bonnes qualité, me donne quelquefois de grosses frayeurs !...