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#1 10-01-2022 23:11:07
- Ghhfhhh
- Invité
Fonction dérivable
Bonjour. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider avec cette question s'il vous plaît?
La fonction |x|sin(x) est-elle dérivable en 0 ? Pourquoi ?
Merci.
#2 10-01-2022 23:22:52
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Fonction dérivable
Bonjour,
Comment sait-on si une fonction est dérivable en un point? On regarde son taux d'accroissement, et on étudie s'il admet une limite.
Il te faut donc calculer le taux d'accroissement en $0$ de ta fonction. Il va y avoir deux cas, le cas où $x>0$ et le cas où $x<0$.
F.
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#3 10-01-2022 23:51:41
- Ghhfhhh
- Invité
Re : Fonction dérivable
D'accord. Merci beaucoup.
#4 11-01-2022 07:56:02
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 912
Re : Fonction dérivable
Bonjour,
Les restrictions de la fonction à $\mathbb{R}_+$ et $\mathbb{R}_-$ étant opposées ( la fonction est impaire) , les taux d'accroissement en 0 sont égaux, et la seule question à se poser: est-ce que l'une est dérivable en 0 ( à droite ou à gauche selon celle qu'on prend) ?
En pratique, ça évite de faire deux fois quasiment le même calcul.
La dérivée d'une fonction impaire est paire d'ailleurs.
A.
Dernière modification par bridgslam (11-01-2022 11:38:51)
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#5 11-01-2022 09:57:16
- Paco del Rey
- Invité
Re : Fonction dérivable
Bonjour.
Pour une fonction définie au voisinage de zéro, être dérivable en zéro est équivalent à admettre un développement limité à l'ordre 1 en zéro.
Ici \(\vert x \vert\sin x = o(x) = 0 + 0x + o(x)\) te dit que la fonction est dérivable en zéro et que sa dérivée y est nulle.
Paco.
#6 11-01-2022 13:36:59
- Bernard-maths
- Membre Expert
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- Messages : 1 895
Re : Fonction dérivable
Bonjour à tous !
La fonction proposée est impaire. Pourquoi ne pas regarder les dérivées à droite de |x| et de sin x ?
Puis le faire gauche, ou de jouer sur la symétrie "O" ?
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (11-01-2022 13:38:08)
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#7 11-01-2022 13:58:16
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Fonction dérivable
Bonjour,
C'est ce que j'ai en gros évoqué précédemment, utiliser directement le fait que la fonction est impaire.
Si sa restriction à droite (par exemple) de 0 est dérivable en un point donné, l'autre restriction ( à gauche) au point opposé y est aussi dérivable et de même nombre dérivé. Comme 0 est son propre opposé...
L'approche de Paco a le mérite de compacter les choses avec o(|x|) = o(x) = o(-x) bien-sûr.
A.
Dernière modification par bridgslam (11-01-2022 14:21:13)
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#8 11-01-2022 14:06:06
- Bernard-maths
- Membre Expert
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Re : Fonction dérivable
bridgslam, on est sur la même longueur d'onde !
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#10 12-01-2022 14:18:07
- Bernard-maths
- Membre Expert
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Re : Fonction dérivable
Bonjour bridgslam !
Ca colle, et on peut tourner autour ...
Ce n'est pas un ver de terre !
Bernard
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#12 13-01-2022 10:56:14
- Bernard-maths
- Membre Expert
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Re : Fonction dérivable
Bonjour bridgslam !
C'est effectivement le but recherché ! Bien vu.
Les vers de terre aussi, sont ronds ...
Bernard
Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2022 10:56:55)
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#13 13-01-2022 12:05:51
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 912
Re : Fonction dérivable
Re-bonjour Bernard,
En adoptant simultanément un rayon de cercle qui varie comme une arche de cosinus en fonction de x ( de période assez grande en regard de celle de ses contorsions ) , on peut faire que les extrémités du ver s'amenuisent à ses deux bouts...
Pour moi un ver ne doit pas avoir subi les dégâts de deux coups de bêche d'un jardinier indélicat ...
A.
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#14 13-01-2022 19:07:37
- Bernard-maths
- Membre Expert
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Re : Fonction dérivable
Re-bonjour bridgslam !
Je te sens prêt pour aller visiter, et participer à : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13953
Ce n'est pas fini, il faut que j'en rajoute, et le ver y sera, on pourra trinquer !
... mais, quand j'aurai un peu de temps ... Il y a toujours des nouveaux trucs qui apparaissent ...
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2022 19:08:48)
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#15 19-01-2022 13:06:30
- coskunvid
- Membre
- Inscription : 17-01-2022
- Messages : 1
Re : Fonction dérivable
Bonjour,
(Ce n'est pas en option !)
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La fonction proposée est impaire. Pourquoi ne pas regarder les bonnes dérivées de |x| et pêcher x?
Dernière modification par yoshi (19-01-2022 15:27:58)
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